Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75161 / 55833
↖ ↑ ↗
← N 25.738055°
E 26.435852°		 ← 275.12 m → N 25.738055°
E 26.438599°		 →
↑
275.10 m
↓
↑
275.10 m
↓
N 25.735581°
E 26.435852°		 ← 275.13 m →
75 687 m²		 N 25.735581°
E 26.438599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573436737060547 y=0.425975799560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573436737060547 × 217)
    floor (0.573436737060547 × 131072)
    floor (75161.5)     		tx = 75161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425975799560547 × 217)
    floor (0.425975799560547 × 131072)
    floor (55833.5)     		ty = 55833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75161 / 55833 ti = "17/75161/55833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75161/55833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75161 ÷ 217
    75161 ÷ 131072     		x = 0.573432922363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55833 ÷ 217
    55833 ÷ 131072     		y = 0.425971984863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573432922363281 × 2 - 1) × π
    0.146865844726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.46139266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425971984863281 × 2 - 1) × π
    0.148056030273438 × 3.1415926535     		Φ = 0.465131737013405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46139266} λ = 0.46139266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.465131737013405))-π/2
    2×atan(1.59222392989667)-π/2
    2×1.01000506504237-π/2
    2.02001013008474-1.57079632675     		φ = 0.44921380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46139266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.435852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44921380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.738055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75161 KachelY 55833 0.46139266 0.44921380 26.435852 25.738055
    Oben rechts KachelX + 1 75162 KachelY 55833 0.46144060 0.44921380 26.438599 25.738055
    Unten links KachelX 75161 KachelY + 1 55834 0.46139266 0.44917062 26.435852 25.735581
    Unten rechts KachelX + 1 75162 KachelY + 1 55834 0.46144060 0.44917062 26.438599 25.735581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44921380-0.44917062) × R
    4.3179999999976e-05 × 6371000     		dl = 275.099779999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44921380-0.44917062) × R
    4.3179999999976e-05 × 6371000     		dr = 275.099779999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46139266-0.46144060) × cos(0.44921380) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.900788793932503 × 6371000     		do = 275.124083970362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46139266-0.46144060) × cos(0.44917062) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.90080754433021 × 6371000     		du = 275.129810824457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44921380)-sin(0.44917062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900788793932503-0.90080754433021)×R²
    abs(0.46144060-0.46139266)×1.87503977070458e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87503977070458e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87503977070458e-05×40589641000000     		ar = 75687.3627127697m²