Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7516 / 7899
↖ ↑ ↗
← N 79.469581°
W138.713379°		 ← 111.64 m → N 79.469581°
W138.707885°		 →
↑
111.68 m
↓
↑
111.68 m
↓
N 79.468576°
W138.713379°		 ← 111.65 m →
12 469 m²		 N 79.468576°
W138.707885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.114692687988281 y=0.120536804199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.114692687988281 × 216)
    floor (0.114692687988281 × 65536)
    floor (7516.5)     		tx = 7516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120536804199219 × 216)
    floor (0.120536804199219 × 65536)
    floor (7899.5)     		ty = 7899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7516 / 7899 ti = "16/7516/7899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7516/7899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7516 ÷ 216
    7516 ÷ 65536     		x = 0.11468505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7899 ÷ 216
    7899 ÷ 65536     		y = 0.120529174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11468505859375 × 2 - 1) × π
    -0.7706298828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.42100518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120529174804688 × 2 - 1) × π
    0.758941650390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38428551330235
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42100518} λ = -2.42100518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38428551330235))-π/2
    2×atan(10.8513067801657)-π/2
    2×1.47890108116928-π/2
    2.95780216233857-1.57079632675     		φ = 1.38700584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42100518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.713379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38700584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.469581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7516 KachelY 7899 -2.42100518 1.38700584 -138.713379 79.469581
    Oben rechts KachelX + 1 7517 KachelY 7899 -2.42090930 1.38700584 -138.707885 79.469581
    Unten links KachelX 7516 KachelY + 1 7900 -2.42100518 1.38698831 -138.713379 79.468576
    Unten rechts KachelX + 1 7517 KachelY + 1 7900 -2.42090930 1.38698831 -138.707885 79.468576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38700584-1.38698831) × R
    1.75300000000433e-05 × 6371000     		dl = 111.683630000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38700584-1.38698831) × R
    1.75300000000433e-05 × 6371000     		dr = 111.683630000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42100518--2.42090930) × cos(1.38700584) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.182757524893284 × 6371000     		do = 111.637704562126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42100518--2.42090930) × cos(1.38698831) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.182774759625247 × 6371000     		du = 111.648232423653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38700584)-sin(1.38698831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182757524893284-0.182774759625247)×R²
    abs(-2.42090930--2.42100518)×1.7234731962662e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.7234731962662e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.7234731962662e-05×40589641000000     		ar = 12468.6919852929m²