Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7516 / 5229
↖ ↑ ↗
← N 54.406143°
W 14.853515°		 ← 1 422.04 m → N 54.406143°
W 14.831543°		 →
↑
1 422.26 m
↓
↑
1 422.26 m
↓
N 54.393352°
W 14.853515°		 ← 1 422.48 m →
2 022 827 m²		 N 54.393352°
W 14.831543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458770751953125 y=0.319183349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458770751953125 × 214)
    floor (0.458770751953125 × 16384)
    floor (7516.5)     		tx = 7516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319183349609375 × 214)
    floor (0.319183349609375 × 16384)
    floor (5229.5)     		ty = 5229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7516 / 5229 ti = "14/7516/5229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7516/5229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7516 ÷ 214
    7516 ÷ 16384     		x = 0.458740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5229 ÷ 214
    5229 ÷ 16384     		y = 0.31915283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458740234375 × 2 - 1) × π
    -0.08251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25924275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31915283203125 × 2 - 1) × π
    0.3616943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.13629626859381
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25924275} λ = -0.25924275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13629626859381))-π/2
    2×atan(3.11520907446002)-π/2
    2×1.26018132850662-π/2
    2.52036265701323-1.57079632675     		φ = 0.94956633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25924275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.853515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94956633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.406143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7516 KachelY 5229 -0.25924275 0.94956633 -14.853515 54.406143
    Oben rechts KachelX + 1 7517 KachelY 5229 -0.25885926 0.94956633 -14.831543 54.406143
    Unten links KachelX 7516 KachelY + 1 5230 -0.25924275 0.94934309 -14.853515 54.393352
    Unten rechts KachelX + 1 7517 KachelY + 1 5230 -0.25885926 0.94934309 -14.831543 54.393352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94956633-0.94934309) × R
    0.000223240000000069 × 6371000     		dl = 1422.26204000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94956633-0.94934309) × R
    0.000223240000000069 × 6371000     		dr = 1422.26204000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25924275--0.25885926) × cos(0.94956633) × R
    0.000383490000000042 × 0.582035788656316 × 6371000     		do = 1422.03844715458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25924275--0.25885926) × cos(0.94934309) × R
    0.000383490000000042 × 0.582217304697639 × 6371000     		du = 1422.48192983136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94956633)-sin(0.94934309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582035788656316-0.582217304697639)×R²
    abs(-0.25885926--0.25924275)×0.000181516041322882×R²
    0.000383490000000042×0.000181516041322882×6371000²
    0.000383490000000042×0.000181516041322882×40589641000000     		ar = 2022826.68549696m²