Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75154 / 56024
↖ ↑ ↗
← N 25.264568°
E 26.416626°		 ← 276.21 m → N 25.264568°
E 26.419373°		 →
↑
276.18 m
↓
↑
276.18 m
↓
N 25.262084°
E 26.416626°		 ← 276.22 m →
76 285 m²		 N 25.262084°
E 26.419373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573383331298828 y=0.427433013916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573383331298828 × 217)
    floor (0.573383331298828 × 131072)
    floor (75154.5)     		tx = 75154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427433013916016 × 217)
    floor (0.427433013916016 × 131072)
    floor (56024.5)     		ty = 56024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75154 / 56024 ti = "17/75154/56024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75154/56024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75154 ÷ 217
    75154 ÷ 131072     		x = 0.573379516601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56024 ÷ 217
    56024 ÷ 131072     		y = 0.42742919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573379516601562 × 2 - 1) × π
    0.146759033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46105710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42742919921875 × 2 - 1) × π
    0.1451416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.455975789185974
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46105710} λ = 0.46105710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.455975789185974))-π/2
    2×atan(1.57771214660871)-π/2
    2×1.00587311538661-π/2
    2.01174623077321-1.57079632675     		φ = 0.44094990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46105710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.416626°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44094990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.264568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75154 KachelY 56024 0.46105710 0.44094990 26.416626 25.264568
    Oben rechts KachelX + 1 75155 KachelY 56024 0.46110504 0.44094990 26.419373 25.264568
    Unten links KachelX 75154 KachelY + 1 56025 0.46105710 0.44090655 26.416626 25.262084
    Unten rechts KachelX + 1 75155 KachelY + 1 56025 0.46110504 0.44090655 26.419373 25.262084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44094990-0.44090655) × R
    4.33499999999976e-05 × 6371000     		dl = 276.182849999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44094990-0.44090655) × R
    4.33499999999976e-05 × 6371000     		dr = 276.182849999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46105710-0.46110504) × cos(0.44094990) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.904346655199733 × 6371000     		do = 276.210746381042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46105710-0.46110504) × cos(0.44090655) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.90436515607348 × 6371000     		du = 276.216397024097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44094990)-sin(0.44090655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904346655199733-0.90436515607348)×R²
    abs(0.46110504-0.46105710)×1.85008737477732e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.85008737477732e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.85008737477732e-05×40589641000000     		ar = 76285.4514534022m²