Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75153 / 55887
↖ ↑ ↗
← N 25.604379°
E 26.413879°		 ← 275.43 m → N 25.604379°
E 26.416626°		 →
↑
275.42 m
↓
↑
275.42 m
↓
N 25.601902°
E 26.413879°		 ← 275.44 m →
75 860 m²		 N 25.601902°
E 26.416626°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573375701904297 y=0.426387786865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573375701904297 × 217)
    floor (0.573375701904297 × 131072)
    floor (75153.5)     		tx = 75153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426387786865234 × 217)
    floor (0.426387786865234 × 131072)
    floor (55887.5)     		ty = 55887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75153 / 55887 ti = "17/75153/55887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75153/55887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75153 ÷ 217
    75153 ÷ 131072     		x = 0.573371887207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55887 ÷ 217
    55887 ÷ 131072     		y = 0.426383972167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573371887207031 × 2 - 1) × π
    0.146743774414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.46100916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426383972167969 × 2 - 1) × π
    0.147232055664062 × 3.1415926535     		Φ = 0.462543144433922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46100916} λ = 0.46100916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.462543144433922))-π/2
    2×atan(1.58810764084305)-π/2
    2×1.00883852296653-π/2
    2.01767704593306-1.57079632675     		φ = 0.44688072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46100916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.413879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44688072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.604379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75153 KachelY 55887 0.46100916 0.44688072 26.413879 25.604379
    Oben rechts KachelX + 1 75154 KachelY 55887 0.46105710 0.44688072 26.416626 25.604379
    Unten links KachelX 75153 KachelY + 1 55888 0.46100916 0.44683749 26.413879 25.601902
    Unten rechts KachelX + 1 75154 KachelY + 1 55888 0.46105710 0.44683749 26.416626 25.601902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44688072-0.44683749) × R
    4.32300000000052e-05 × 6371000     		dl = 275.418330000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44688072-0.44683749) × R
    4.32300000000052e-05 × 6371000     		dr = 275.418330000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46100916-0.46105710) × cos(0.44688072) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.901799498813644 × 6371000     		do = 275.432779256925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46100916-0.46105710) × cos(0.44683749) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.901818180017623 × 6371000     		du = 275.438484977474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44688072)-sin(0.44683749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901799498813644-0.901818180017623)×R²
    abs(0.46105710-0.46100916)×1.86812039788542e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.86812039788542e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.86812039788542e-05×40589641000000     		ar = 75860.0218320968m²