Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75151 / 55727
↖ ↑ ↗
← N 26.000019°
E 26.408386°		 ← 274.51 m → N 26.000019°
E 26.411133°		 →
↑
274.53 m
↓
↑
274.53 m
↓
N 25.997550°
E 26.408386°		 ← 274.52 m →
75 362 m²		 N 25.997550°
E 26.411133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573360443115234 y=0.425167083740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573360443115234 × 217)
    floor (0.573360443115234 × 131072)
    floor (75151.5)     		tx = 75151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425167083740234 × 217)
    floor (0.425167083740234 × 131072)
    floor (55727.5)     		ty = 55727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75151 / 55727 ti = "17/75151/55727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75151/55727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75151 ÷ 217
    75151 ÷ 131072     		x = 0.573356628417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55727 ÷ 217
    55727 ÷ 131072     		y = 0.425163269042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573356628417969 × 2 - 1) × π
    0.146713256835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.46091329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425163269042969 × 2 - 1) × π
    0.149673461914062 × 3.1415926535     		Φ = 0.470213048373131
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46091329} λ = 0.46091329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.470213048373131))-π/2
    2×atan(1.60033510569138)-π/2
    2×1.0122911280884-π/2
    2.0245822561768-1.57079632675     		φ = 0.45378593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46091329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.408386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45378593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.000019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75151 KachelY 55727 0.46091329 0.45378593 26.408386 26.000019
    Oben rechts KachelX + 1 75152 KachelY 55727 0.46096123 0.45378593 26.411133 26.000019
    Unten links KachelX 75151 KachelY + 1 55728 0.46091329 0.45374284 26.408386 25.997550
    Unten rechts KachelX + 1 75152 KachelY + 1 55728 0.46096123 0.45374284 26.411133 25.997550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45378593-0.45374284) × R
    4.30900000000234e-05 × 6371000     		dl = 274.526390000149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45378593-0.45374284) × R
    4.30900000000234e-05 × 6371000     		dr = 274.526390000149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46091329-0.46096123) × cos(0.45378593) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.898793904055804 × 6371000     		do = 274.514793253871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46091329-0.46096123) × cos(0.45374284) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.898812792646663 × 6371000     		du = 274.520562315711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45378593)-sin(0.45374284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898793904055804-0.898812792646663)×R²
    abs(0.46096123-0.46091329)×1.88885908593006e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.88885908593006e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.88885908593006e-05×40589641000000     		ar = 75362.3470851402m²