Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7515 / 7500
↖ ↑ ↗
← S 81.595699°
E150.249024°		 ← 714.20 m → S 81.595699°
E150.292969°		 →
↑
713.93 m
↓
↑
713.93 m
↓
S 81.602119°
E150.249024°		 ← 713.65 m →
509 696 m²		 S 81.602119°
E150.292969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91741943359375 y=0.91558837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91741943359375 × 213)
    floor (0.91741943359375 × 8192)
    floor (7515.5)     		tx = 7515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91558837890625 × 213)
    floor (0.91558837890625 × 8192)
    floor (7500.5)     		ty = 7500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7515 / 7500 ti = "13/7515/7500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7515/7500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7515 ÷ 213
    7515 ÷ 8192     		x = 0.9173583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7500 ÷ 213
    7500 ÷ 8192     		y = 0.91552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9173583984375 × 2 - 1) × π
    0.834716796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.62234016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91552734375 × 2 - 1) × π
    -0.8310546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.61083530090674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62234016} λ = 2.62234016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61083530090674))-π/2
    2×atan(0.0734731459383744)-π/2
    2×0.0733413624145633-π/2
    0.146682724829127-1.57079632675     		φ = -1.42411360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62234016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.249024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42411360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.595699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7515 KachelY 7500 2.62234016 -1.42411360 150.249024 -81.595699
    Oben rechts KachelX + 1 7516 KachelY 7500 2.62310715 -1.42411360 150.292969 -81.595699
    Unten links KachelX 7515 KachelY + 1 7501 2.62234016 -1.42422566 150.249024 -81.602119
    Unten rechts KachelX + 1 7516 KachelY + 1 7501 2.62310715 -1.42422566 150.292969 -81.602119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42411360--1.42422566) × R
    0.000112059999999969 × 6371000     		dl = 713.934259999805m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42411360--1.42422566) × R
    0.000112059999999969 × 6371000     		dr = 713.934259999805m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62234016-2.62310715) × cos(-1.42411360) × R
    0.000766990000000245 × 0.146157292456126 × 6371000     		do = 714.196628871655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62234016-2.62310715) × cos(-1.42422566) × R
    0.000766990000000245 × 0.146046434910252 × 6371000     		du = 713.654924217597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42411360)-sin(-1.42422566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146157292456126-0.146046434910252)×R²
    abs(2.62310715-2.62234016)×0.000110857545873783×R²
    0.000766990000000245×0.000110857545873783×6371000²
    0.000766990000000245×0.000110857545873783×40589641000000     		ar = 509696.07150662m²