Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7515 / 3835
↖ ↑ ↗
← N 68.696505°
W 14.875488°		 ← 887.66 m → N 68.696505°
W 14.853515°		 →
↑
887.80 m
↓
↑
887.80 m
↓
N 68.688520°
W 14.875488°		 ← 887.98 m →
788 207 m²		 N 68.688520°
W 14.853515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458709716796875 y=0.234100341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458709716796875 × 214)
    floor (0.458709716796875 × 16384)
    floor (7515.5)     		tx = 7515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234100341796875 × 214)
    floor (0.234100341796875 × 16384)
    floor (3835.5)     		ty = 3835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7515 / 3835 ti = "14/7515/3835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7515/3835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7515 ÷ 214
    7515 ÷ 16384     		x = 0.45867919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3835 ÷ 214
    3835 ÷ 16384     		y = 0.23406982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45867919921875 × 2 - 1) × π
    -0.0826416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25962625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23406982421875 × 2 - 1) × π
    0.5318603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.67088857315668
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25962625} λ = -0.25962625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67088857315668))-π/2
    2×atan(5.31689014465439)-π/2
    2×1.38488826069663-π/2
    2.76977652139325-1.57079632675     		φ = 1.19898019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25962625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.875488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19898019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.696505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7515 KachelY 3835 -0.25962625 1.19898019 -14.875488 68.696505
    Oben rechts KachelX + 1 7516 KachelY 3835 -0.25924275 1.19898019 -14.853515 68.696505
    Unten links KachelX 7515 KachelY + 1 3836 -0.25962625 1.19884084 -14.875488 68.688520
    Unten rechts KachelX + 1 7516 KachelY + 1 3836 -0.25924275 1.19884084 -14.853515 68.688520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19898019-1.19884084) × R
    0.000139349999999983 × 6371000     		dl = 887.798849999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19898019-1.19884084) × R
    0.000139349999999983 × 6371000     		dr = 887.798849999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25962625--0.25924275) × cos(1.19898019) × R
    0.000383499999999981 × 0.363308068663909 × 6371000     		do = 887.662793043009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25962625--0.25924275) × cos(1.19884084) × R
    0.000383499999999981 × 0.363437893220304 × 6371000     		du = 887.979990590421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19898019)-sin(1.19884084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363308068663909-0.363437893220304)×R²
    abs(-0.25924275--0.25962625)×0.000129824556395097×R²
    0.000383499999999981×0.000129824556395097×6371000²
    0.000383499999999981×0.000129824556395097×40589641000000     		ar = 788206.81193425m²