Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75146 / 59874
↖ ↑ ↗
← N 15.363653°
E 26.394654°		 ← 294.45 m → N 15.363653°
E 26.397400°		 →
↑
294.47 m
↓
↑
294.47 m
↓
N 15.361005°
E 26.394654°		 ← 294.45 m →
86 706 m²		 N 15.361005°
E 26.397400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573322296142578 y=0.456806182861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573322296142578 × 217)
    floor (0.573322296142578 × 131072)
    floor (75146.5)     		tx = 75146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456806182861328 × 217)
    floor (0.456806182861328 × 131072)
    floor (59874.5)     		ty = 59874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75146 / 59874 ti = "17/75146/59874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75146/59874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75146 ÷ 217
    75146 ÷ 131072     		x = 0.573318481445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59874 ÷ 217
    59874 ÷ 131072     		y = 0.456802368164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573318481445312 × 2 - 1) × π
    0.146636962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46067361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456802368164062 × 2 - 1) × π
    0.086395263671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.271418725648758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46067361} λ = 0.46067361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.271418725648758))-π/2
    2×atan(1.31182424985888)-π/2
    2×0.91947132930428-π/2
    1.83894265860856-1.57079632675     		φ = 0.26814633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46067361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.394654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26814633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.363653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75146 KachelY 59874 0.46067361 0.26814633 26.394654 15.363653
    Oben rechts KachelX + 1 75147 KachelY 59874 0.46072154 0.26814633 26.397400 15.363653
    Unten links KachelX 75146 KachelY + 1 59875 0.46067361 0.26810011 26.394654 15.361005
    Unten rechts KachelX + 1 75147 KachelY + 1 59875 0.46072154 0.26810011 26.397400 15.361005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26814633-0.26810011) × R
    4.62199999999857e-05 × 6371000     		dl = 294.467619999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26814633-0.26810011) × R
    4.62199999999857e-05 × 6371000     		dr = 294.467619999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46067361-0.46072154) × cos(0.26814633) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.9642636723425 × 6371000     		do = 294.4495124416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46067361-0.46072154) × cos(0.26810011) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.964275917045753 × 6371000     		du = 294.453251509042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26814633)-sin(0.26810011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9642636723425-0.964275917045753)×R²
    abs(0.46072154-0.46067361)×1.22447032534501e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.22447032534501e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.22447032534501e-05×40589641000000     		ar = 86706.3976714038m²