Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75146 / 55890
↖ ↑ ↗
← N 25.596949°
E 26.394654°		 ← 275.39 m → N 25.596949°
E 26.397400°		 →
↑
275.48 m
↓
↑
275.48 m
↓
N 25.594471°
E 26.394654°		 ← 275.40 m →
75 866 m²		 N 25.594471°
E 26.397400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573322296142578 y=0.426410675048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573322296142578 × 217)
    floor (0.573322296142578 × 131072)
    floor (75146.5)     		tx = 75146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426410675048828 × 217)
    floor (0.426410675048828 × 131072)
    floor (55890.5)     		ty = 55890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75146 / 55890 ti = "17/75146/55890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75146/55890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75146 ÷ 217
    75146 ÷ 131072     		x = 0.573318481445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55890 ÷ 217
    55890 ÷ 131072     		y = 0.426406860351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573318481445312 × 2 - 1) × π
    0.146636962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46067361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426406860351562 × 2 - 1) × π
    0.147186279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.462399333735062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46067361} λ = 0.46067361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.462399333735062))-π/2
    2×atan(1.58787927039481)-π/2
    2×1.00877367674358-π/2
    2.01754735348716-1.57079632675     		φ = 0.44675103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46067361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.394654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44675103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.596949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75146 KachelY 55890 0.46067361 0.44675103 26.394654 25.596949
    Oben rechts KachelX + 1 75147 KachelY 55890 0.46072154 0.44675103 26.397400 25.596949
    Unten links KachelX 75146 KachelY + 1 55891 0.46067361 0.44670779 26.394654 25.594471
    Unten rechts KachelX + 1 75147 KachelY + 1 55891 0.46072154 0.44670779 26.397400 25.594471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44675103-0.44670779) × R
    4.32399999999999e-05 × 6371000     		dl = 275.48204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44675103-0.44670779) × R
    4.32399999999999e-05 × 6371000     		dr = 275.48204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46067361-0.46072154) × cos(0.44675103) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.901855537369503 × 6371000     		do = 275.392437657742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46067361-0.46072154) × cos(0.44670779) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.901874217837322 × 6371000     		du = 275.398141963317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44675103)-sin(0.44670779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901855537369503-0.901874217837322)×R²
    abs(0.46072154-0.46067361)×1.86804678189434e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.86804678189434e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.86804678189434e-05×40589641000000     		ar = 75866.45625524m²