Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75146 / 55165
↖ ↑ ↗
← N 27.379084°
E 26.394654°		 ← 271.16 m → N 27.379084°
E 26.397400°		 →
↑
271.21 m
↓
↑
271.21 m
↓
N 27.376645°
E 26.394654°		 ← 271.16 m →
73 542 m²		 N 27.376645°
E 26.397400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573322296142578 y=0.420879364013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573322296142578 × 217)
    floor (0.573322296142578 × 131072)
    floor (75146.5)     		tx = 75146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420879364013672 × 217)
    floor (0.420879364013672 × 131072)
    floor (55165.5)     		ty = 55165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75146 / 55165 ti = "17/75146/55165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75146/55165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75146 ÷ 217
    75146 ÷ 131072     		x = 0.573318481445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55165 ÷ 217
    55165 ÷ 131072     		y = 0.420875549316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573318481445312 × 2 - 1) × π
    0.146636962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46067361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420875549316406 × 2 - 1) × π
    0.158248901367188 × 3.1415926535     		Φ = 0.497153585959602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46067361} λ = 0.46067361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.497153585959602))-π/2
    2×atan(1.64403500002387)-π/2
    2×1.0243257469953-π/2
    2.0486514939906-1.57079632675     		φ = 0.47785517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46067361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.394654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47785517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.379084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75146 KachelY 55165 0.46067361 0.47785517 26.394654 27.379084
    Oben rechts KachelX + 1 75147 KachelY 55165 0.46072154 0.47785517 26.397400 27.379084
    Unten links KachelX 75146 KachelY + 1 55166 0.46067361 0.47781260 26.394654 27.376645
    Unten rechts KachelX + 1 75147 KachelY + 1 55166 0.46072154 0.47781260 26.397400 27.376645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47785517-0.47781260) × R
    4.25700000000195e-05 × 6371000     		dl = 271.213470000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47785517-0.47781260) × R
    4.25700000000195e-05 × 6371000     		dr = 271.213470000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46067361-0.46072154) × cos(0.47785517) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.887983319630281 × 6371000     		do = 271.156389088293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46067361-0.46072154) × cos(0.47781260) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.888002895732582 × 6371000     		du = 271.162366886632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47785517)-sin(0.47781260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887983319630281-0.888002895732582)×R²
    abs(0.46072154-0.46067361)×1.95761023011887e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.95761023011887e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.95761023011887e-05×40589641000000     		ar = 73542.0758380839m²