Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75145 / 55689
↖ ↑ ↗
← N 26.093788°
E 26.391907°		 ← 274.30 m → N 26.093788°
E 26.394654°		 →
↑
274.27 m
↓
↑
274.27 m
↓
N 26.091322°
E 26.391907°		 ← 274.30 m →
75 232 m²		 N 26.091322°
E 26.394654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573314666748047 y=0.424877166748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573314666748047 × 217)
    floor (0.573314666748047 × 131072)
    floor (75145.5)     		tx = 75145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424877166748047 × 217)
    floor (0.424877166748047 × 131072)
    floor (55689.5)     		ty = 55689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75145 / 55689 ti = "17/75145/55689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75145/55689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75145 ÷ 217
    75145 ÷ 131072     		x = 0.573310852050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55689 ÷ 217
    55689 ÷ 131072     		y = 0.424873352050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573310852050781 × 2 - 1) × π
    0.146621704101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.46062567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424873352050781 × 2 - 1) × π
    0.150253295898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.472034650558693
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46062567} λ = 0.46062567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.472034650558693))-π/2
    2×atan(1.60325293637407)-π/2
    2×1.01310942342954-π/2
    2.02621884685908-1.57079632675     		φ = 0.45542252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46062567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.391907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45542252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.093788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75145 KachelY 55689 0.46062567 0.45542252 26.391907 26.093788
    Oben rechts KachelX + 1 75146 KachelY 55689 0.46067361 0.45542252 26.394654 26.093788
    Unten links KachelX 75145 KachelY + 1 55690 0.46062567 0.45537947 26.391907 26.091322
    Unten rechts KachelX + 1 75146 KachelY + 1 55690 0.46067361 0.45537947 26.394654 26.091322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45542252-0.45537947) × R
    4.30499999999889e-05 × 6371000     		dl = 274.271549999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45542252-0.45537947) × R
    4.30499999999889e-05 × 6371000     		dr = 274.271549999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46062567-0.46067361) × cos(0.45542252) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.898075266387063 × 6371000     		do = 274.295302812104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46062567-0.46067361) × cos(0.45537947) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.898094200744682 × 6371000     		du = 274.301085852291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45542252)-sin(0.45537947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898075266387063-0.898094200744682)×R²
    abs(0.46067361-0.46062567)×1.89343576181278e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.89343576181278e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.89343576181278e-05×40589641000000     		ar = 75232.1909332505m²