Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75145 / 55633
↖ ↑ ↗
← N 26.231838°
E 26.391907°		 ← 273.97 m → N 26.231838°
E 26.394654°		 →
↑
273.95 m
↓
↑
273.95 m
↓
N 26.229375°
E 26.391907°		 ← 273.98 m →
75 056 m²		 N 26.229375°
E 26.394654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573314666748047 y=0.424449920654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573314666748047 × 217)
    floor (0.573314666748047 × 131072)
    floor (75145.5)     		tx = 75145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424449920654297 × 217)
    floor (0.424449920654297 × 131072)
    floor (55633.5)     		ty = 55633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75145 / 55633 ti = "17/75145/55633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75145/55633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75145 ÷ 217
    75145 ÷ 131072     		x = 0.573310852050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55633 ÷ 217
    55633 ÷ 131072     		y = 0.424446105957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573310852050781 × 2 - 1) × π
    0.146621704101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.46062567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424446105957031 × 2 - 1) × π
    0.151107788085938 × 3.1415926535     		Φ = 0.474719116937416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46062567} λ = 0.46062567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.474719116937416))-π/2
    2×atan(1.60756259695975)-π/2
    2×1.01431413732469-π/2
    2.02862827464939-1.57079632675     		φ = 0.45783195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46062567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.391907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45783195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.231838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75145 KachelY 55633 0.46062567 0.45783195 26.391907 26.231838
    Oben rechts KachelX + 1 75146 KachelY 55633 0.46067361 0.45783195 26.394654 26.231838
    Unten links KachelX 75145 KachelY + 1 55634 0.46062567 0.45778895 26.391907 26.229375
    Unten rechts KachelX + 1 75146 KachelY + 1 55634 0.46067361 0.45778895 26.394654 26.229375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45783195-0.45778895) × R
    4.30000000000152e-05 × 6371000     		dl = 273.953000000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45783195-0.45778895) × R
    4.30000000000152e-05 × 6371000     		dr = 273.953000000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46062567-0.46067361) × cos(0.45783195) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.897012892544766 × 6371000     		do = 273.970826495163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46062567-0.46067361) × cos(0.45778895) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.897031897903747 × 6371000     		du = 273.976631220994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45783195)-sin(0.45778895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897012892544766-0.897031897903747)×R²
    abs(0.46067361-0.46062567)×1.9005358981028e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.9005358981028e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.9005358981028e-05×40589641000000     		ar = 75055.92495347m²