Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75144 / 55688
↖ ↑ ↗
← N 26.096255°
E 26.389160°		 ← 274.29 m → N 26.096255°
E 26.391907°		 →
↑
274.27 m
↓
↑
274.27 m
↓
N 26.093788°
E 26.389160°		 ← 274.30 m →
75 231 m²		 N 26.093788°
E 26.391907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573307037353516 y=0.424869537353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573307037353516 × 217)
    floor (0.573307037353516 × 131072)
    floor (75144.5)     		tx = 75144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424869537353516 × 217)
    floor (0.424869537353516 × 131072)
    floor (55688.5)     		ty = 55688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75144 / 55688 ti = "17/75144/55688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75144/55688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75144 ÷ 217
    75144 ÷ 131072     		x = 0.57330322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55688 ÷ 217
    55688 ÷ 131072     		y = 0.42486572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57330322265625 × 2 - 1) × π
    0.1466064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46057773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42486572265625 × 2 - 1) × π
    0.1502685546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.472082587458313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46057773} λ = 0.46057773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.472082587458313))-π/2
    2×atan(1.60332979319128)-π/2
    2×1.01313094867455-π/2
    2.02626189734911-1.57079632675     		φ = 0.45546557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46057773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.389160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45546557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.096255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75144 KachelY 55688 0.46057773 0.45546557 26.389160 26.096255
    Oben rechts KachelX + 1 75145 KachelY 55688 0.46062567 0.45546557 26.391907 26.096255
    Unten links KachelX 75144 KachelY + 1 55689 0.46057773 0.45542252 26.389160 26.093788
    Unten rechts KachelX + 1 75145 KachelY + 1 55689 0.46062567 0.45542252 26.391907 26.093788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45546557-0.45542252) × R
    4.30499999999889e-05 × 6371000     		dl = 274.271549999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45546557-0.45542252) × R
    4.30499999999889e-05 × 6371000     		dr = 274.271549999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46057773-0.46062567) × cos(0.45546557) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.89805633036504 × 6371000     		do = 274.289519263247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46057773-0.46062567) × cos(0.45542252) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.898075266387063 × 6371000     		du = 274.295302811786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45546557)-sin(0.45542252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89805633036504-0.898075266387063)×R²
    abs(0.46062567-0.46057773)×1.8936022023186e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8936022023186e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8936022023186e-05×40589641000000     		ar = 75230.6047401278m²