Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75142 / 57054
↖ ↑ ↗
← N 22.679916°
E 26.383667°		 ← 281.75 m → N 22.679916°
E 26.386413°		 →
↑
281.79 m
↓
↑
281.79 m
↓
N 22.677382°
E 26.383667°		 ← 281.75 m →
79 395 m²		 N 22.677382°
E 26.386413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573291778564453 y=0.435291290283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573291778564453 × 217)
    floor (0.573291778564453 × 131072)
    floor (75142.5)     		tx = 75142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435291290283203 × 217)
    floor (0.435291290283203 × 131072)
    floor (57054.5)     		ty = 57054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75142 / 57054 ti = "17/75142/57054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75142/57054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75142 ÷ 217
    75142 ÷ 131072     		x = 0.573287963867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57054 ÷ 217
    57054 ÷ 131072     		y = 0.435287475585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573287963867188 × 2 - 1) × π
    0.146575927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46048186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435287475585938 × 2 - 1) × π
    0.129425048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.406600782577316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46048186} λ = 0.46048186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.406600782577316))-π/2
    2×atan(1.50170447938739)-π/2
    2×0.983317766139914-π/2
    1.96663553227983-1.57079632675     		φ = 0.39583921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46048186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.383667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39583921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.679916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75142 KachelY 57054 0.46048186 0.39583921 26.383667 22.679916
    Oben rechts KachelX + 1 75143 KachelY 57054 0.46052979 0.39583921 26.386413 22.679916
    Unten links KachelX 75142 KachelY + 1 57055 0.46048186 0.39579498 26.383667 22.677382
    Unten rechts KachelX + 1 75143 KachelY + 1 57055 0.46052979 0.39579498 26.386413 22.677382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39583921-0.39579498) × R
    4.42299999999785e-05 × 6371000     		dl = 281.789329999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39583921-0.39579498) × R
    4.42299999999785e-05 × 6371000     		dr = 281.789329999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46048186-0.46052979) × cos(0.39583921) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.922673304499937 × 6371000     		do = 281.749393288755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46048186-0.46052979) × cos(0.39579498) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.92269035791764 × 6371000     		du = 281.754600755003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39583921)-sin(0.39579498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922673304499937-0.92269035791764)×R²
    abs(0.46052979-0.46048186)×1.70534177033055e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.70534177033055e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.70534177033055e-05×40589641000000     		ar = 79394.7064798433m²