Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7514 / 7340
↖ ↑ ↗
← S 80.503112°
E150.205078°		 ← 806.24 m → S 80.503112°
E150.249024°		 →
↑
806 m
↓
↑
806 m
↓
S 80.510360°
E150.205078°		 ← 805.63 m →
649 582 m²		 S 80.510360°
E150.249024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91729736328125 y=0.89605712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91729736328125 × 213)
    floor (0.91729736328125 × 8192)
    floor (7514.5)     		tx = 7514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.89605712890625 × 213)
    floor (0.89605712890625 × 8192)
    floor (7340.5)     		ty = 7340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7514 / 7340 ti = "13/7514/7340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7514/7340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7514 ÷ 213
    7514 ÷ 8192     		x = 0.917236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7340 ÷ 213
    7340 ÷ 8192     		y = 0.89599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.917236328125 × 2 - 1) × π
    0.83447265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.62157317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89599609375 × 2 - 1) × π
    -0.7919921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.48811683787939
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62157317} λ = 2.62157317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48811683787939))-π/2
    2×atan(0.083066246587763)-π/2
    2×0.0828759812636189-π/2
    0.165751962527238-1.57079632675     		φ = -1.40504436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62157317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.205078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40504436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.503112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7514 KachelY 7340 2.62157317 -1.40504436 150.205078 -80.503112
    Oben rechts KachelX + 1 7515 KachelY 7340 2.62234016 -1.40504436 150.249024 -80.503112
    Unten links KachelX 7514 KachelY + 1 7341 2.62157317 -1.40517087 150.205078 -80.510360
    Unten rechts KachelX + 1 7515 KachelY + 1 7341 2.62234016 -1.40517087 150.249024 -80.510360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40504436--1.40517087) × R
    0.00012651000000008 × 6371000     		dl = 805.995210000507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40504436--1.40517087) × R
    0.00012651000000008 × 6371000     		dr = 805.995210000507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62157317-2.62234016) × cos(-1.40504436) × R
    0.000766989999999801 × 0.164994038331102 × 6371000     		do = 806.242261194722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62157317-2.62234016) × cos(-1.40517087) × R
    0.000766989999999801 × 0.164869260885774 × 6371000     		du = 805.632537045387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40504436)-sin(-1.40517087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164994038331102-0.164869260885774)×R²
    abs(2.62234016-2.62157317)×0.000124777445327295×R²
    0.000766989999999801×0.000124777445327295×6371000²
    0.000766989999999801×0.000124777445327295×40589641000000     		ar = 649581.684118128m²