Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7514 / 5256
↖ ↑ ↗
← N 54.059388°
W 14.897461°		 ← 1 434.04 m → N 54.059388°
W 14.875488°		 →
↑
1 434.30 m
↓
↑
1 434.30 m
↓
N 54.046489°
W 14.897461°		 ← 1 434.48 m →
2 057 162 m²		 N 54.046489°
W 14.875488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458648681640625 y=0.320831298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458648681640625 × 214)
    floor (0.458648681640625 × 16384)
    floor (7514.5)     		tx = 7514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320831298828125 × 214)
    floor (0.320831298828125 × 16384)
    floor (5256.5)     		ty = 5256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7514 / 5256 ti = "14/7514/5256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7514/5256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7514 ÷ 214
    7514 ÷ 16384     		x = 0.4586181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5256 ÷ 214
    5256 ÷ 16384     		y = 0.32080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4586181640625 × 2 - 1) × π
    -0.082763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26000974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32080078125 × 2 - 1) × π
    0.3583984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.12594189827588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26000974} λ = -0.26000974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12594189827588))-π/2
    2×atan(3.08311946662807)-π/2
    2×1.25715531850516-π/2
    2.51431063701033-1.57079632675     		φ = 0.94351431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26000974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.897461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94351431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.059388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7514 KachelY 5256 -0.26000974 0.94351431 -14.897461 54.059388
    Oben rechts KachelX + 1 7515 KachelY 5256 -0.25962625 0.94351431 -14.875488 54.059388
    Unten links KachelX 7514 KachelY + 1 5257 -0.26000974 0.94328918 -14.897461 54.046489
    Unten rechts KachelX + 1 7515 KachelY + 1 5257 -0.25962625 0.94328918 -14.875488 54.046489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94351431-0.94328918) × R
    0.000225130000000018 × 6371000     		dl = 1434.30323000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94351431-0.94328918) × R
    0.000225130000000018 × 6371000     		dr = 1434.30323000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26000974--0.25962625) × cos(0.94351431) × R
    0.000383489999999986 × 0.586946379317181 × 6371000     		do = 1434.03607488464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26000974--0.25962625) × cos(0.94328918) × R
    0.000383489999999986 × 0.58712863549938 × 6371000     		du = 1434.48136588455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94351431)-sin(0.94328918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586946379317181-0.58712863549938)×R²
    abs(-0.25962625--0.26000974)×0.000182256182198914×R²
    0.000383489999999986×0.000182256182198914×6371000²
    0.000383489999999986×0.000182256182198914×40589641000000     		ar = 2057161.92399188m²