Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75138 / 54407
↖ ↑ ↗
← N 29.212111°
E 26.372681°		 ← 266.58 m → N 29.212111°
E 26.375427°		 →
↑
266.56 m
↓
↑
266.56 m
↓
N 29.209713°
E 26.372681°		 ← 266.59 m →
71 061 m²		 N 29.209713°
E 26.375427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573261260986328 y=0.415096282958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573261260986328 × 217)
    floor (0.573261260986328 × 131072)
    floor (75138.5)     		tx = 75138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415096282958984 × 217)
    floor (0.415096282958984 × 131072)
    floor (54407.5)     		ty = 54407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75138 / 54407 ti = "17/75138/54407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75138/54407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75138 ÷ 217
    75138 ÷ 131072     		x = 0.573257446289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54407 ÷ 217
    54407 ÷ 131072     		y = 0.415092468261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573257446289062 × 2 - 1) × π
    0.146514892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46029011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415092468261719 × 2 - 1) × π
    0.169815063476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.533489755871605
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46029011} λ = 0.46029011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.533489755871605))-π/2
    2×atan(1.70487152479777)-π/2
    2×1.04032191842982-π/2
    2.08064383685964-1.57079632675     		φ = 0.50984751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46029011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.372681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50984751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.212111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75138 KachelY 54407 0.46029011 0.50984751 26.372681 29.212111
    Oben rechts KachelX + 1 75139 KachelY 54407 0.46033805 0.50984751 26.375427 29.212111
    Unten links KachelX 75138 KachelY + 1 54408 0.46029011 0.50980567 26.372681 29.209713
    Unten rechts KachelX + 1 75139 KachelY + 1 54408 0.46033805 0.50980567 26.375427 29.209713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50984751-0.50980567) × R
    4.18399999999597e-05 × 6371000     		dl = 266.562639999743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50984751-0.50980567) × R
    4.18399999999597e-05 × 6371000     		dr = 266.562639999743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46029011-0.46033805) × cos(0.50984751) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.872818939646789 × 6371000     		do = 266.58137052777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46029011-0.46033805) × cos(0.50980567) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.872839358650314 × 6371000     		du = 266.587607017031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50984751)-sin(0.50980567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872818939646789-0.872839358650314)×R²
    abs(0.46033805-0.46029011)×2.04190035255625e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.04190035255625e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.04190035255625e-05×40589641000000     		ar = 71061.4651205566m²