Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75136 / 54408
↖ ↑ ↗
← N 29.209713°
E 26.367188°		 ← 266.53 m → N 29.209713°
E 26.369934°		 →
↑
266.56 m
↓
↑
266.56 m
↓
N 29.207316°
E 26.367188°		 ← 266.54 m →
71 048 m²		 N 29.207316°
E 26.369934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573246002197266 y=0.415103912353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573246002197266 × 217)
    floor (0.573246002197266 × 131072)
    floor (75136.5)     		tx = 75136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415103912353516 × 217)
    floor (0.415103912353516 × 131072)
    floor (54408.5)     		ty = 54408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75136 / 54408 ti = "17/75136/54408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75136/54408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75136 ÷ 217
    75136 ÷ 131072     		x = 0.5732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54408 ÷ 217
    54408 ÷ 131072     		y = 0.41510009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5732421875 × 2 - 1) × π
    0.146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46019424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41510009765625 × 2 - 1) × π
    0.1697998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.533441818971985
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46019424} λ = 0.46019424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.533441818971985))-π/2
    2×atan(1.70478980050144)-π/2
    2×1.04030099806816-π/2
    2.08060199613632-1.57079632675     		φ = 0.50980567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46019424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.367188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50980567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.209713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75136 KachelY 54408 0.46019424 0.50980567 26.367188 29.209713
    Oben rechts KachelX + 1 75137 KachelY 54408 0.46024217 0.50980567 26.369934 29.209713
    Unten links KachelX 75136 KachelY + 1 54409 0.46019424 0.50976383 26.367188 29.207316
    Unten rechts KachelX + 1 75137 KachelY + 1 54409 0.46024217 0.50976383 26.369934 29.207316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50980567-0.50976383) × R
    4.18399999999597e-05 × 6371000     		dl = 266.562639999743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50980567-0.50976383) × R
    4.18399999999597e-05 × 6371000     		dr = 266.562639999743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46019424-0.46024217) × cos(0.50980567) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.872839358650314 × 6371000     		do = 266.531998421521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46019424-0.46024217) × cos(0.50976383) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.87285977612586 × 6371000     		du = 266.538233143301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50980567)-sin(0.50976383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872839358650314-0.87285977612586)×R²
    abs(0.46024217-0.46019424)×2.04174755454867e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.04174755454867e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.04174755454867e-05×40589641000000     		ar = 71048.3041258693m²