Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75135 / 55149
↖ ↑ ↗
← N 27.418100°
E 26.364441°		 ← 271.12 m → N 27.418100°
E 26.367188°		 →
↑
271.09 m
↓
↑
271.09 m
↓
N 27.415662°
E 26.364441°		 ← 271.12 m →
73 497 m²		 N 27.415662°
E 26.367188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573238372802734 y=0.420757293701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573238372802734 × 217)
    floor (0.573238372802734 × 131072)
    floor (75135.5)     		tx = 75135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420757293701172 × 217)
    floor (0.420757293701172 × 131072)
    floor (55149.5)     		ty = 55149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75135 / 55149 ti = "17/75135/55149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75135/55149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75135 ÷ 217
    75135 ÷ 131072     		x = 0.573234558105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55149 ÷ 217
    55149 ÷ 131072     		y = 0.420753479003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573234558105469 × 2 - 1) × π
    0.146469116210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.46014630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420753479003906 × 2 - 1) × π
    0.158493041992188 × 3.1415926535     		Φ = 0.497920576353523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46014630} λ = 0.46014630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.497920576353523))-π/2
    2×atan(1.64529644277156)-π/2
    2×1.0246662242574-π/2
    2.0493324485148-1.57079632675     		φ = 0.47853612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46014630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.364441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47853612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.418100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75135 KachelY 55149 0.46014630 0.47853612 26.364441 27.418100
    Oben rechts KachelX + 1 75136 KachelY 55149 0.46019424 0.47853612 26.367188 27.418100
    Unten links KachelX 75135 KachelY + 1 55150 0.46014630 0.47849357 26.364441 27.415662
    Unten rechts KachelX + 1 75136 KachelY + 1 55150 0.46019424 0.47849357 26.367188 27.415662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47853612-0.47849357) × R
    4.25500000000301e-05 × 6371000     		dl = 271.086050000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47853612-0.47849357) × R
    4.25500000000301e-05 × 6371000     		dr = 271.086050000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46014630-0.46019424) × cos(0.47853612) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.887669961446997 × 6371000     		do = 271.117254850543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46014630-0.46019424) × cos(0.47849357) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.887689554077089 × 6371000     		du = 271.123238944087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47853612)-sin(0.47849357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887669961446997-0.887689554077089)×R²
    abs(0.46019424-0.46014630)×1.95926300926574e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95926300926574e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95926300926574e-05×40589641000000     		ar = 73496.9168175322m²