Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75135 / 55145
↖ ↑ ↗
← N 27.427852°
E 26.364441°		 ← 271.09 m → N 27.427852°
E 26.367188°		 →
↑
271.09 m
↓
↑
271.09 m
↓
N 27.425414°
E 26.364441°		 ← 271.10 m →
73 490 m²		 N 27.425414°
E 26.367188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573238372802734 y=0.420726776123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573238372802734 × 217)
    floor (0.573238372802734 × 131072)
    floor (75135.5)     		tx = 75135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420726776123047 × 217)
    floor (0.420726776123047 × 131072)
    floor (55145.5)     		ty = 55145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75135 / 55145 ti = "17/75135/55145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75135/55145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75135 ÷ 217
    75135 ÷ 131072     		x = 0.573234558105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55145 ÷ 217
    55145 ÷ 131072     		y = 0.420722961425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573234558105469 × 2 - 1) × π
    0.146469116210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.46014630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420722961425781 × 2 - 1) × π
    0.158554077148438 × 3.1415926535     		Φ = 0.498112323952003
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46014630} λ = 0.46014630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.498112323952003))-π/2
    2×atan(1.6456119546616)-π/2
    2×1.02475132479152-π/2
    2.04950264958303-1.57079632675     		φ = 0.47870632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46014630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.364441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47870632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.427852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75135 KachelY 55145 0.46014630 0.47870632 26.364441 27.427852
    Oben rechts KachelX + 1 75136 KachelY 55145 0.46019424 0.47870632 26.367188 27.427852
    Unten links KachelX 75135 KachelY + 1 55146 0.46014630 0.47866377 26.364441 27.425414
    Unten rechts KachelX + 1 75136 KachelY + 1 55146 0.46019424 0.47866377 26.367188 27.425414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47870632-0.47866377) × R
    4.25500000000301e-05 × 6371000     		dl = 271.086050000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47870632-0.47866377) × R
    4.25500000000301e-05 × 6371000     		dr = 271.086050000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46014630-0.46019424) × cos(0.47870632) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.887591574855694 × 6371000     		do = 271.093313567888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46014630-0.46019424) × cos(0.47866377) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.887611173914089 × 6371000     		du = 271.099299624802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47870632)-sin(0.47866377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887591574855694-0.887611173914089)×R²
    abs(0.46019424-0.46014630)×1.95990583944372e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95990583944372e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95990583944372e-05×40589641000000     		ar = 73490.4269359768m²