Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75135 / 54409
↖ ↑ ↗
← N 29.207316°
E 26.364441°		 ← 266.59 m → N 29.207316°
E 26.367188°		 →
↑
266.56 m
↓
↑
266.56 m
↓
N 29.204919°
E 26.364441°		 ← 266.60 m →
71 065 m²		 N 29.204919°
E 26.367188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573238372802734 y=0.415111541748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573238372802734 × 217)
    floor (0.573238372802734 × 131072)
    floor (75135.5)     		tx = 75135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415111541748047 × 217)
    floor (0.415111541748047 × 131072)
    floor (54409.5)     		ty = 54409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75135 / 54409 ti = "17/75135/54409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75135/54409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75135 ÷ 217
    75135 ÷ 131072     		x = 0.573234558105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54409 ÷ 217
    54409 ÷ 131072     		y = 0.415107727050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573234558105469 × 2 - 1) × π
    0.146469116210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.46014630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415107727050781 × 2 - 1) × π
    0.169784545898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.533393882072365
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46014630} λ = 0.46014630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.533393882072365))-π/2
    2×atan(1.70470808012263)-π/2
    2×1.04028007721709-π/2
    2.08056015443419-1.57079632675     		φ = 0.50976383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46014630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.364441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50976383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.207316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75135 KachelY 54409 0.46014630 0.50976383 26.364441 29.207316
    Oben rechts KachelX + 1 75136 KachelY 54409 0.46019424 0.50976383 26.367188 29.207316
    Unten links KachelX 75135 KachelY + 1 54410 0.46014630 0.50972199 26.364441 29.204919
    Unten rechts KachelX + 1 75136 KachelY + 1 54410 0.46019424 0.50972199 26.367188 29.204919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50976383-0.50972199) × R
    4.18400000000707e-05 × 6371000     		dl = 266.56264000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50976383-0.50972199) × R
    4.18400000000707e-05 × 6371000     		dr = 266.56264000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46014630-0.46019424) × cos(0.50976383) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.87285977612586 × 6371000     		do = 266.5938430393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46014630-0.46019424) × cos(0.50972199) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.87288019207339 × 6371000     		du = 266.600078595182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50976383)-sin(0.50972199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87285977612586-0.87288019207339)×R²
    abs(0.46019424-0.46014630)×2.04159475298837e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.04159475298837e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.04159475298837e-05×40589641000000     		ar = 71064.789702004m²