Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75133 / 56149
↖ ↑ ↗
← N 24.953690°
E 26.358948°		 ← 276.86 m → N 24.953690°
E 26.361694°		 →
↑
276.88 m
↓
↑
276.88 m
↓
N 24.951200°
E 26.358948°		 ← 276.86 m →
76 658 m²		 N 24.951200°
E 26.361694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573223114013672 y=0.428386688232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573223114013672 × 217)
    floor (0.573223114013672 × 131072)
    floor (75133.5)     		tx = 75133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428386688232422 × 217)
    floor (0.428386688232422 × 131072)
    floor (56149.5)     		ty = 56149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75133 / 56149 ti = "17/75133/56149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75133/56149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75133 ÷ 217
    75133 ÷ 131072     		x = 0.573219299316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56149 ÷ 217
    56149 ÷ 131072     		y = 0.428382873535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573219299316406 × 2 - 1) × π
    0.146438598632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.46005043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428382873535156 × 2 - 1) × π
    0.143234252929688 × 3.1415926535     		Φ = 0.449983676733467
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46005043} λ = 0.46005043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.449983676733467))-π/2
    2×atan(1.56828658572129)-π/2
    2×1.00316018767364-π/2
    2.00632037534728-1.57079632675     		φ = 0.43552405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46005043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.358948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43552405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.953690°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75133 KachelY 56149 0.46005043 0.43552405 26.358948 24.953690
    Oben rechts KachelX + 1 75134 KachelY 56149 0.46009836 0.43552405 26.361694 24.953690
    Unten links KachelX 75133 KachelY + 1 56150 0.46005043 0.43548059 26.358948 24.951200
    Unten rechts KachelX + 1 75134 KachelY + 1 56150 0.46009836 0.43548059 26.361694 24.951200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43552405-0.43548059) × R
    4.34599999999952e-05 × 6371000     		dl = 276.883659999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43552405-0.43548059) × R
    4.34599999999952e-05 × 6371000     		dr = 276.883659999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46005043-0.46009836) × cos(0.43552405) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.906649077662476 × 6371000     		do = 276.85620285249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46005043-0.46009836) × cos(0.43548059) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.90666741195393 × 6371000     		du = 276.861801448947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43552405)-sin(0.43548059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906649077662476-0.90666741195393)×R²
    abs(0.46009836-0.46005043)×1.83342914537032e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.83342914537032e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.83342914537032e-05×40589641000000     		ar = 76657.7338314769m²