Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75128 / 55141
↖ ↑ ↗
← N 27.437603°
E 26.345215°		 ← 271.07 m → N 27.437603°
E 26.347962°		 →
↑
271.09 m
↓
↑
271.09 m
↓
N 27.435165°
E 26.345215°		 ← 271.08 m →
73 484 m²		 N 27.435165°
E 26.347962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573184967041016 y=0.420696258544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573184967041016 × 217)
    floor (0.573184967041016 × 131072)
    floor (75128.5)     		tx = 75128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420696258544922 × 217)
    floor (0.420696258544922 × 131072)
    floor (55141.5)     		ty = 55141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75128 / 55141 ti = "17/75128/55141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75128/55141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75128 ÷ 217
    75128 ÷ 131072     		x = 0.57318115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55141 ÷ 217
    55141 ÷ 131072     		y = 0.420692443847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57318115234375 × 2 - 1) × π
    0.1463623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45981074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420692443847656 × 2 - 1) × π
    0.158615112304688 × 3.1415926535     		Φ = 0.498304071550484
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45981074} λ = 0.45981074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.498304071550484))-π/2
    2×atan(1.6459275270561)-π/2
    2×1.02483641780946-π/2
    2.04967283561893-1.57079632675     		φ = 0.47887651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45981074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.345215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47887651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.437603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75128 KachelY 55141 0.45981074 0.47887651 26.345215 27.437603
    Oben rechts KachelX + 1 75129 KachelY 55141 0.45985868 0.47887651 26.347962 27.437603
    Unten links KachelX 75128 KachelY + 1 55142 0.45981074 0.47883396 26.345215 27.435165
    Unten rechts KachelX + 1 75129 KachelY + 1 55142 0.45985868 0.47883396 26.347962 27.435165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47887651-0.47883396) × R
    4.25499999999746e-05 × 6371000     		dl = 271.086049999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47887651-0.47883396) × R
    4.25499999999746e-05 × 6371000     		dr = 271.086049999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45981074-0.45985868) × cos(0.47887651) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.887513167160427 × 6371000     		do = 271.069365839853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45981074-0.45985868) × cos(0.47883396) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.887532772646178 × 6371000     		du = 271.075353859847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47887651)-sin(0.47883396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887513167160427-0.887532772646178)×R²
    abs(0.45985868-0.45981074)×1.96054857509731e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.96054857509731e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.96054857509731e-05×40589641000000     		ar = 73483.935307002m²