Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75126 / 56151
↖ ↑ ↗
← N 24.948709°
E 26.339722°		 ← 276.87 m → N 24.948709°
E 26.342468°		 →
↑
276.88 m
↓
↑
276.88 m
↓
N 24.946219°
E 26.339722°		 ← 276.87 m →
76 661 m²		 N 24.946219°
E 26.342468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573169708251953 y=0.428401947021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573169708251953 × 217)
    floor (0.573169708251953 × 131072)
    floor (75126.5)     		tx = 75126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428401947021484 × 217)
    floor (0.428401947021484 × 131072)
    floor (56151.5)     		ty = 56151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75126 / 56151 ti = "17/75126/56151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75126/56151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75126 ÷ 217
    75126 ÷ 131072     		x = 0.573165893554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56151 ÷ 217
    56151 ÷ 131072     		y = 0.428398132324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573165893554688 × 2 - 1) × π
    0.146331787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45971487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428398132324219 × 2 - 1) × π
    0.143203735351562 × 3.1415926535     		Φ = 0.449887802934227
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45971487} λ = 0.45971487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.449887802934227))-π/2
    2×atan(1.56813623533547)-π/2
    2×1.00311672484886-π/2
    2.00623344969771-1.57079632675     		φ = 0.43543712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45971487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.339722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43543712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.948709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75126 KachelY 56151 0.45971487 0.43543712 26.339722 24.948709
    Oben rechts KachelX + 1 75127 KachelY 56151 0.45976280 0.43543712 26.342468 24.948709
    Unten links KachelX 75126 KachelY + 1 56152 0.45971487 0.43539366 26.339722 24.946219
    Unten rechts KachelX + 1 75127 KachelY + 1 56152 0.45976280 0.43539366 26.342468 24.946219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43543712-0.43539366) × R
    4.34599999999952e-05 × 6371000     		dl = 276.883659999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43543712-0.43539366) × R
    4.34599999999952e-05 × 6371000     		dr = 276.883659999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45971487-0.45976280) × cos(0.43543712) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.906685748750963 × 6371000     		do = 276.867400810834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45971487-0.45976280) × cos(0.43539366) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.906704079617013 × 6371000     		du = 276.872998361302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43543712)-sin(0.43539366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906685748750963-0.906704079617013)×R²
    abs(0.45976280-0.45971487)×1.83308660497428e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.83308660497428e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.83308660497428e-05×40589641000000     		ar = 76660.8342184142m²