Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75125 / 56156
↖ ↑ ↗
← N 24.936257°
E 26.336975°		 ← 276.95 m → N 24.936257°
E 26.339722°		 →
↑
276.95 m
↓
↑
276.95 m
↓
N 24.933766°
E 26.336975°		 ← 276.96 m →
76 702 m²		 N 24.933766°
E 26.339722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573162078857422 y=0.428440093994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573162078857422 × 217)
    floor (0.573162078857422 × 131072)
    floor (75125.5)     		tx = 75125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428440093994141 × 217)
    floor (0.428440093994141 × 131072)
    floor (56156.5)     		ty = 56156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75125 / 56156 ti = "17/75125/56156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75125/56156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75125 ÷ 217
    75125 ÷ 131072     		x = 0.573158264160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56156 ÷ 217
    56156 ÷ 131072     		y = 0.428436279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573158264160156 × 2 - 1) × π
    0.146316528320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.45966693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428436279296875 × 2 - 1) × π
    0.14312744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.449648118436127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45966693} λ = 0.45966693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.449648118436127))-π/2
    2×atan(1.56776042242901)-π/2
    2×1.0030080600976-π/2
    2.00601612019521-1.57079632675     		φ = 0.43521979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45966693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.336975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43521979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.936257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75125 KachelY 56156 0.45966693 0.43521979 26.336975 24.936257
    Oben rechts KachelX + 1 75126 KachelY 56156 0.45971487 0.43521979 26.339722 24.936257
    Unten links KachelX 75125 KachelY + 1 56157 0.45966693 0.43517632 26.336975 24.933766
    Unten rechts KachelX + 1 75126 KachelY + 1 56157 0.45971487 0.43517632 26.339722 24.933766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43521979-0.43517632) × R
    4.34699999999899e-05 × 6371000     		dl = 276.947369999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43521979-0.43517632) × R
    4.34699999999899e-05 × 6371000     		dr = 276.947369999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45966693-0.45971487) × cos(0.43521979) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.906777398603588 × 6371000     		do = 276.953157983915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45966693-0.45971487) × cos(0.43517632) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.906795725121028 × 6371000     		du = 276.958755374066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43521979)-sin(0.43517632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906777398603588-0.906795725121028)×R²
    abs(0.45971487-0.45966693)×1.83265174397151e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.83265174397151e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.83265174397151e-05×40589641000000     		ar = 76702.2238201695m²