Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75124 / 55732
↖ ↑ ↗
← N 25.987675°
E 26.334228°		 ← 274.54 m → N 25.987675°
E 26.336975°		 →
↑
274.53 m
↓
↑
274.53 m
↓
N 25.985206°
E 26.334228°		 ← 274.55 m →
75 370 m²		 N 25.985206°
E 26.336975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573154449462891 y=0.425205230712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573154449462891 × 217)
    floor (0.573154449462891 × 131072)
    floor (75124.5)     		tx = 75124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425205230712891 × 217)
    floor (0.425205230712891 × 131072)
    floor (55732.5)     		ty = 55732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75124 / 55732 ti = "17/75124/55732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75124/55732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75124 ÷ 217
    75124 ÷ 131072     		x = 0.573150634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55732 ÷ 217
    55732 ÷ 131072     		y = 0.425201416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573150634765625 × 2 - 1) × π
    0.14630126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45961899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425201416015625 × 2 - 1) × π
    0.14959716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.469973363875031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45961899} λ = 0.45961899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.469973363875031))-π/2
    2×atan(1.59995157613966)-π/2
    2×1.01218340894734-π/2
    2.02436681789467-1.57079632675     		φ = 0.45357049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45961899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.334228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45357049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.987675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75124 KachelY 55732 0.45961899 0.45357049 26.334228 25.987675
    Oben rechts KachelX + 1 75125 KachelY 55732 0.45966693 0.45357049 26.336975 25.987675
    Unten links KachelX 75124 KachelY + 1 55733 0.45961899 0.45352740 26.334228 25.985206
    Unten rechts KachelX + 1 75125 KachelY + 1 55733 0.45966693 0.45352740 26.336975 25.985206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45357049-0.45352740) × R
    4.30899999999679e-05 × 6371000     		dl = 274.526389999795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45357049-0.45352740) × R
    4.30899999999679e-05 × 6371000     		dr = 274.526389999795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45961899-0.45966693) × cos(0.45357049) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.898888325939282 × 6371000     		do = 274.543632127186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45961899-0.45966693) × cos(0.45352740) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.898907206185833 × 6371000     		du = 274.549398640461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45357049)-sin(0.45352740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898888325939282-0.898907206185833)×R²
    abs(0.45966693-0.45961899)×1.88802465511673e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88802465511673e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88802465511673e-05×40589641000000     		ar = 75370.2637669902m²