Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75123 / 59866
↖ ↑ ↗
← N 15.384839°
E 26.331482°		 ← 294.42 m → N 15.384839°
E 26.334228°		 →
↑
294.47 m
↓
↑
294.47 m
↓
N 15.382191°
E 26.331482°		 ← 294.42 m →
86 698 m²		 N 15.382191°
E 26.334228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573146820068359 y=0.456745147705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573146820068359 × 217)
    floor (0.573146820068359 × 131072)
    floor (75123.5)     		tx = 75123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456745147705078 × 217)
    floor (0.456745147705078 × 131072)
    floor (59866.5)     		ty = 59866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75123 / 59866 ti = "17/75123/59866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75123/59866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75123 ÷ 217
    75123 ÷ 131072     		x = 0.573143005371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59866 ÷ 217
    59866 ÷ 131072     		y = 0.456741333007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573143005371094 × 2 - 1) × π
    0.146286010742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.45957106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456741333007812 × 2 - 1) × π
    0.086517333984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.271802220845718
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45957106} λ = 0.45957106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.271802220845718))-π/2
    2×atan(1.31232742463434)-π/2
    2×0.919656215150631-π/2
    1.83931243030126-1.57079632675     		φ = 0.26851610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45957106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.331482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26851610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.384839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75123 KachelY 59866 0.45957106 0.26851610 26.331482 15.384839
    Oben rechts KachelX + 1 75124 KachelY 59866 0.45961899 0.26851610 26.334228 15.384839
    Unten links KachelX 75123 KachelY + 1 59867 0.45957106 0.26846988 26.331482 15.382191
    Unten rechts KachelX + 1 75124 KachelY + 1 59867 0.45961899 0.26846988 26.334228 15.382191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26851610-0.26846988) × R
    4.62199999999857e-05 × 6371000     		dl = 294.467619999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26851610-0.26846988) × R
    4.62199999999857e-05 × 6371000     		dr = 294.467619999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45957106-0.45961899) × cos(0.26851610) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.96416563790763 × 6371000     		do = 294.419576447899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45957106-0.45961899) × cos(0.26846988) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.964177899090159 × 6371000     		du = 294.423320547486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26851610)-sin(0.26846988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96416563790763-0.964177899090159)×R²
    abs(0.45961899-0.45957106)×1.22611825286167e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.22611825286167e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.22611825286167e-05×40589641000000     		ar = 86697.5832314592m²