Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75120 / 55889
↖ ↑ ↗
← N 25.599425°
E 26.323242°		 ← 275.39 m → N 25.599425°
E 26.325989°		 →
↑
275.42 m
↓
↑
275.42 m
↓
N 25.596949°
E 26.323242°		 ← 275.39 m →
75 847 m²		 N 25.596949°
E 26.325989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573123931884766 y=0.426403045654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573123931884766 × 217)
    floor (0.573123931884766 × 131072)
    floor (75120.5)     		tx = 75120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426403045654297 × 217)
    floor (0.426403045654297 × 131072)
    floor (55889.5)     		ty = 55889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75120 / 55889 ti = "17/75120/55889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75120/55889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75120 ÷ 217
    75120 ÷ 131072     		x = 0.5731201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55889 ÷ 217
    55889 ÷ 131072     		y = 0.426399230957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5731201171875 × 2 - 1) × π
    0.146240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45942725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426399230957031 × 2 - 1) × π
    0.147201538085938 × 3.1415926535     		Φ = 0.462447270634682
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45942725} λ = 0.45942725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.462447270634682))-π/2
    2×atan(1.58795539022846)-π/2
    2×1.00879529259895-π/2
    2.01759058519791-1.57079632675     		φ = 0.44679426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45942725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.323242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44679426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.599425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75120 KachelY 55889 0.45942725 0.44679426 26.323242 25.599425
    Oben rechts KachelX + 1 75121 KachelY 55889 0.45947518 0.44679426 26.325989 25.599425
    Unten links KachelX 75120 KachelY + 1 55890 0.45942725 0.44675103 26.323242 25.596949
    Unten rechts KachelX + 1 75121 KachelY + 1 55890 0.45947518 0.44675103 26.325989 25.596949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44679426-0.44675103) × R
    4.32300000000052e-05 × 6371000     		dl = 275.418330000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44679426-0.44675103) × R
    4.32300000000052e-05 × 6371000     		dr = 275.418330000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45942725-0.45947518) × cos(0.44679426) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.901836859536254 × 6371000     		do = 275.386734156665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45942725-0.45947518) × cos(0.44675103) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.901855537369503 × 6371000     		du = 275.392437657742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44679426)-sin(0.44675103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901836859536254-0.901855537369503)×R²
    abs(0.45947518-0.45942725)×1.86778332490478e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.86778332490478e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.86778332490478e-05×40589641000000     		ar = 75847.3398618038m²