Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75120 / 55792
↖ ↑ ↗
← N 25.839449°
E 26.323242°		 ← 274.83 m → N 25.839449°
E 26.325989°		 →
↑
274.91 m
↓
↑
274.91 m
↓
N 25.836977°
E 26.323242°		 ← 274.84 m →
75 554 m²		 N 25.836977°
E 26.325989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573123931884766 y=0.425662994384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573123931884766 × 217)
    floor (0.573123931884766 × 131072)
    floor (75120.5)     		tx = 75120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425662994384766 × 217)
    floor (0.425662994384766 × 131072)
    floor (55792.5)     		ty = 55792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75120 / 55792 ti = "17/75120/55792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75120/55792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75120 ÷ 217
    75120 ÷ 131072     		x = 0.5731201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55792 ÷ 217
    55792 ÷ 131072     		y = 0.4256591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5731201171875 × 2 - 1) × π
    0.146240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45942725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4256591796875 × 2 - 1) × π
    0.148681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.467097149897827
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45942725} λ = 0.45942725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.467097149897827))-π/2
    2×atan(1.59535638459844)-π/2
    2×1.01088989787568-π/2
    2.02177979575136-1.57079632675     		φ = 0.45098347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45942725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.323242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45098347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.839449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75120 KachelY 55792 0.45942725 0.45098347 26.323242 25.839449
    Oben rechts KachelX + 1 75121 KachelY 55792 0.45947518 0.45098347 26.325989 25.839449
    Unten links KachelX 75120 KachelY + 1 55793 0.45942725 0.45094032 26.323242 25.836977
    Unten rechts KachelX + 1 75121 KachelY + 1 55793 0.45947518 0.45094032 26.325989 25.836977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45098347-0.45094032) × R
    4.31499999999918e-05 × 6371000     		dl = 274.908649999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45098347-0.45094032) × R
    4.31499999999918e-05 × 6371000     		dr = 274.908649999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45942725-0.45947518) × cos(0.45098347) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.900018891405658 × 6371000     		do = 274.831595717831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45942725-0.45947518) × cos(0.45094032) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.900037697533514 × 6371000     		du = 274.83733839521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45098347)-sin(0.45094032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900018891405658-0.900037697533514)×R²
    abs(0.45947518-0.45942725)×1.8806127856541e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.8806127856541e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.8806127856541e-05×40589641000000     		ar = 75554.3723236958m²