Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7512 / 7496
↖ ↑ ↗
← S 81.569968°
E150.117188°		 ← 716.37 m → S 81.569968°
E150.161133°		 →
↑
716.10 m
↓
↑
716.10 m
↓
S 81.576408°
E150.117188°		 ← 715.82 m →
512 796 m²		 S 81.576408°
E150.161133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91705322265625 y=0.91510009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91705322265625 × 213)
    floor (0.91705322265625 × 8192)
    floor (7512.5)     		tx = 7512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91510009765625 × 213)
    floor (0.91510009765625 × 8192)
    floor (7496.5)     		ty = 7496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7512 / 7496 ti = "13/7512/7496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7512/7496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7512 ÷ 213
    7512 ÷ 8192     		x = 0.9169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7496 ÷ 213
    7496 ÷ 8192     		y = 0.9150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9169921875 × 2 - 1) × π
    0.833984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.62003919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9150390625 × 2 - 1) × π
    -0.830078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.60776733933105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62003919} λ = 2.62003919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60776733933105))-π/2
    2×atan(0.0736989048597285)-π/2
    2×0.0735659054561645-π/2
    0.147131810912329-1.57079632675     		φ = -1.42366452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62003919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.117188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42366452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.569968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7512 KachelY 7496 2.62003919 -1.42366452 150.117188 -81.569968
    Oben rechts KachelX + 1 7513 KachelY 7496 2.62080618 -1.42366452 150.161133 -81.569968
    Unten links KachelX 7512 KachelY + 1 7497 2.62003919 -1.42377692 150.117188 -81.576408
    Unten rechts KachelX + 1 7513 KachelY + 1 7497 2.62080618 -1.42377692 150.161133 -81.576408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42366452--1.42377692) × R
    0.000112399999999901 × 6371000     		dl = 716.100399999372m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42366452--1.42377692) × R
    0.000112399999999901 × 6371000     		dr = 716.100399999372m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62003919-2.62080618) × cos(-1.42366452) × R
    0.000766990000000245 × 0.14660153519646 × 6371000     		do = 716.36741804143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62003919-2.62080618) × cos(-1.42377692) × R
    0.000766990000000245 × 0.146490348682076 × 6371000     		du = 715.824105884952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42366452)-sin(-1.42377692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14660153519646-0.146490348682076)×R²
    abs(2.62080618-2.62003919)×0.000111186514384548×R²
    0.000766990000000245×0.000111186514384548×6371000²
    0.000766990000000245×0.000111186514384548×40589641000000     		ar = 512796.46211959m²