Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75118 / 56142
↖ ↑ ↗
← N 24.971120°
E 26.317749°		 ← 276.87 m → N 24.971120°
E 26.320496°		 →
↑
276.88 m
↓
↑
276.88 m
↓
N 24.968630°
E 26.317749°		 ← 276.88 m →
76 663 m²		 N 24.968630°
E 26.320496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573108673095703 y=0.428333282470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573108673095703 × 217)
    floor (0.573108673095703 × 131072)
    floor (75118.5)     		tx = 75118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428333282470703 × 217)
    floor (0.428333282470703 × 131072)
    floor (56142.5)     		ty = 56142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75118 / 56142 ti = "17/75118/56142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75118/56142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75118 ÷ 217
    75118 ÷ 131072     		x = 0.573104858398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56142 ÷ 217
    56142 ÷ 131072     		y = 0.428329467773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573104858398438 × 2 - 1) × π
    0.146209716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45933137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428329467773438 × 2 - 1) × π
    0.143341064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.450319235030808
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45933137} λ = 0.45933137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.450319235030808))-π/2
    2×atan(1.56881292560166)-π/2
    2×1.00331229371492-π/2
    2.00662458742984-1.57079632675     		φ = 0.43582826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45933137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.317749°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43582826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.971120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75118 KachelY 56142 0.45933137 0.43582826 26.317749 24.971120
    Oben rechts KachelX + 1 75119 KachelY 56142 0.45937931 0.43582826 26.320496 24.971120
    Unten links KachelX 75118 KachelY + 1 56143 0.45933137 0.43578480 26.317749 24.968630
    Unten rechts KachelX + 1 75119 KachelY + 1 56143 0.45937931 0.43578480 26.320496 24.968630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43582826-0.43578480) × R
    4.34599999999952e-05 × 6371000     		dl = 276.883659999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43582826-0.43578480) × R
    4.34599999999952e-05 × 6371000     		dr = 276.883659999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45933137-0.45937931) × cos(0.43582826) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.906520693897169 × 6371000     		do = 276.874753758675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45933137-0.45937931) × cos(0.43578480) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.906539040174672 × 6371000     		du = 276.880357184057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43582826)-sin(0.43578480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906520693897169-0.906539040174672)×R²
    abs(0.45937931-0.45933137)×1.83462775035226e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83462775035226e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83462775035226e-05×40589641000000     		ar = 76662.8709428353m²