Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75116 / 57068
↖ ↑ ↗
← N 22.644432°
E 26.312256°		 ← 281.88 m → N 22.644432°
E 26.315003°		 →
↑
281.85 m
↓
↑
281.85 m
↓
N 22.641897°
E 26.312256°		 ← 281.89 m →
79 450 m²		 N 22.641897°
E 26.315003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573093414306641 y=0.435398101806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573093414306641 × 217)
    floor (0.573093414306641 × 131072)
    floor (75116.5)     		tx = 75116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435398101806641 × 217)
    floor (0.435398101806641 × 131072)
    floor (57068.5)     		ty = 57068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75116 / 57068 ti = "17/75116/57068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75116/57068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75116 ÷ 217
    75116 ÷ 131072     		x = 0.573089599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57068 ÷ 217
    57068 ÷ 131072     		y = 0.435394287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573089599609375 × 2 - 1) × π
    0.14617919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45923550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435394287109375 × 2 - 1) × π
    0.12921142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.405929665982636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45923550} λ = 0.45923550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.405929665982636))-π/2
    2×atan(1.50069699869729)-π/2
    2×0.983008115413489-π/2
    1.96601623082698-1.57079632675     		φ = 0.39521990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45923550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.312256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39521990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.644432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75116 KachelY 57068 0.45923550 0.39521990 26.312256 22.644432
    Oben rechts KachelX + 1 75117 KachelY 57068 0.45928344 0.39521990 26.315003 22.644432
    Unten links KachelX 75116 KachelY + 1 57069 0.45923550 0.39517566 26.312256 22.641897
    Unten rechts KachelX + 1 75117 KachelY + 1 57069 0.45928344 0.39517566 26.315003 22.641897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39521990-0.39517566) × R
    4.42400000000287e-05 × 6371000     		dl = 281.853040000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39521990-0.39517566) × R
    4.42400000000287e-05 × 6371000     		dr = 281.853040000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45923550-0.45928344) × cos(0.39521990) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.922911922726865 × 6371000     		do = 281.881056953491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45923550-0.45928344) × cos(0.39517566) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.922928954716827 × 6371000     		du = 281.886258961628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39521990)-sin(0.39517566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922911922726865-0.922928954716827)×R²
    abs(0.45928344-0.45923550)×1.70319899619464e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70319899619464e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70319899619464e-05×40589641000000     		ar = 79449.7659347134m²