Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75116 / 55524
↖ ↑ ↗
← N 26.500073°
E 26.312256°		 ← 273.34 m → N 26.500073°
E 26.315003°		 →
↑
273.32 m
↓
↑
273.32 m
↓
N 26.497615°
E 26.312256°		 ← 273.34 m →
74 708 m²		 N 26.497615°
E 26.315003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573093414306641 y=0.423618316650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573093414306641 × 217)
    floor (0.573093414306641 × 131072)
    floor (75116.5)     		tx = 75116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423618316650391 × 217)
    floor (0.423618316650391 × 131072)
    floor (55524.5)     		ty = 55524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75116 / 55524 ti = "17/75116/55524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75116/55524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75116 ÷ 217
    75116 ÷ 131072     		x = 0.573089599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55524 ÷ 217
    55524 ÷ 131072     		y = 0.423614501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573089599609375 × 2 - 1) × π
    0.14617919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45923550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423614501953125 × 2 - 1) × π
    0.15277099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.479944238996002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45923550} λ = 0.45923550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.479944238996002))-π/2
    2×atan(1.61598429077407)-π/2
    2×1.01665492559047-π/2
    2.03330985118093-1.57079632675     		φ = 0.46251352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45923550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.312256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46251352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.500073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75116 KachelY 55524 0.45923550 0.46251352 26.312256 26.500073
    Oben rechts KachelX + 1 75117 KachelY 55524 0.45928344 0.46251352 26.315003 26.500073
    Unten links KachelX 75116 KachelY + 1 55525 0.45923550 0.46247062 26.312256 26.497615
    Unten rechts KachelX + 1 75117 KachelY + 1 55525 0.45928344 0.46247062 26.315003 26.497615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46251352-0.46247062) × R
    4.29000000000124e-05 × 6371000     		dl = 273.315900000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46251352-0.46247062) × R
    4.29000000000124e-05 × 6371000     		dr = 273.315900000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45923550-0.45928344) × cos(0.46251352) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.894933795723644 × 6371000     		do = 273.335816809724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45923550-0.45928344) × cos(0.46247062) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.894952936834989 × 6371000     		du = 273.34166299782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46251352)-sin(0.46247062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894933795723644-0.894952936834989)×R²
    abs(0.45928344-0.45923550)×1.91411113444895e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91411113444895e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91411113444895e-05×40589641000000     		ar = 74707.8237130852m²