Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75112 / 55657
↖ ↑ ↗
← N 26.172694°
E 26.301269°		 ← 274.11 m → N 26.172694°
E 26.304016°		 →
↑
274.14 m
↓
↑
274.14 m
↓
N 26.170229°
E 26.301269°		 ← 274.12 m →
75 146 m²		 N 26.170229°
E 26.304016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573062896728516 y=0.424633026123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573062896728516 × 217)
    floor (0.573062896728516 × 131072)
    floor (75112.5)     		tx = 75112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424633026123047 × 217)
    floor (0.424633026123047 × 131072)
    floor (55657.5)     		ty = 55657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75112 / 55657 ti = "17/75112/55657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75112/55657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75112 ÷ 217
    75112 ÷ 131072     		x = 0.57305908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55657 ÷ 217
    55657 ÷ 131072     		y = 0.424629211425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57305908203125 × 2 - 1) × π
    0.1461181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45904375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424629211425781 × 2 - 1) × π
    0.150741577148438 × 3.1415926535     		Φ = 0.473568631346535
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45904375} λ = 0.45904375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.473568631346535))-π/2
    2×atan(1.6057141828463)-π/2
    2×1.01379800599158-π/2
    2.02759601198315-1.57079632675     		φ = 0.45679969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45904375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.301269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45679969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.172694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75112 KachelY 55657 0.45904375 0.45679969 26.301269 26.172694
    Oben rechts KachelX + 1 75113 KachelY 55657 0.45909169 0.45679969 26.304016 26.172694
    Unten links KachelX 75112 KachelY + 1 55658 0.45904375 0.45675666 26.301269 26.170229
    Unten rechts KachelX + 1 75113 KachelY + 1 55658 0.45909169 0.45675666 26.304016 26.170229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45679969-0.45675666) × R
    4.30299999999995e-05 × 6371000     		dl = 274.144129999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45679969-0.45675666) × R
    4.30299999999995e-05 × 6371000     		dr = 274.144129999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45904375-0.45909169) × cos(0.45679969) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.897468677992678 × 6371000     		do = 274.110035102873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45904375-0.45909169) × cos(0.45675666) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.897487656756433 × 6371000     		du = 274.115831705837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45679969)-sin(0.45675666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897468677992678-0.897487656756433)×R²
    abs(0.45909169-0.45904375)×1.89787637555616e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.89787637555616e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.89787637555616e-05×40589641000000     		ar = 75146.4516614917m²