Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75111 / 57072
↖ ↑ ↗
← N 22.634293°
E 26.298523°		 ← 281.90 m → N 22.634293°
E 26.301269°		 →
↑
281.85 m
↓
↑
281.85 m
↓
N 22.631758°
E 26.298523°		 ← 281.91 m →
79 456 m²		 N 22.631758°
E 26.301269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573055267333984 y=0.435428619384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573055267333984 × 217)
    floor (0.573055267333984 × 131072)
    floor (75111.5)     		tx = 75111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435428619384766 × 217)
    floor (0.435428619384766 × 131072)
    floor (57072.5)     		ty = 57072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75111 / 57072 ti = "17/75111/57072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75111/57072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75111 ÷ 217
    75111 ÷ 131072     		x = 0.573051452636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57072 ÷ 217
    57072 ÷ 131072     		y = 0.4354248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573051452636719 × 2 - 1) × π
    0.146102905273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.45899581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4354248046875 × 2 - 1) × π
    0.129150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.405737918384155
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45899581} λ = 0.45899581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.405737918384155))-π/2
    2×atan(1.50040927123815)-π/2
    2×0.982919629075493-π/2
    1.96583925815099-1.57079632675     		φ = 0.39504293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45899581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.298523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39504293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.634293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75111 KachelY 57072 0.45899581 0.39504293 26.298523 22.634293
    Oben rechts KachelX + 1 75112 KachelY 57072 0.45904375 0.39504293 26.301269 22.634293
    Unten links KachelX 75111 KachelY + 1 57073 0.45899581 0.39499869 26.298523 22.631758
    Unten rechts KachelX + 1 75112 KachelY + 1 57073 0.45904375 0.39499869 26.301269 22.631758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39504293-0.39499869) × R
    4.42400000000287e-05 × 6371000     		dl = 281.853040000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39504293-0.39499869) × R
    4.42400000000287e-05 × 6371000     		dr = 281.853040000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45899581-0.45904375) × cos(0.39504293) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.922980043697042 × 6371000     		do = 281.901862851217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45899581-0.45904375) × cos(0.39499869) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.922997068461053 × 6371000     		du = 281.907062652363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39504293)-sin(0.39499869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922980043697042-0.922997068461053)×R²
    abs(0.45904375-0.45899581)×1.70247640102206e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70247640102206e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70247640102206e-05×40589641000000     		ar = 79455.6298292173m²