Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75111 / 55527
↖ ↑ ↗
← N 26.492699°
E 26.298523°		 ← 273.35 m → N 26.492699°
E 26.301269°		 →
↑
273.32 m
↓
↑
273.32 m
↓
N 26.490241°
E 26.298523°		 ← 273.36 m →
74 713 m²		 N 26.490241°
E 26.301269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573055267333984 y=0.423641204833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573055267333984 × 217)
    floor (0.573055267333984 × 131072)
    floor (75111.5)     		tx = 75111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423641204833984 × 217)
    floor (0.423641204833984 × 131072)
    floor (55527.5)     		ty = 55527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75111 / 55527 ti = "17/75111/55527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75111/55527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75111 ÷ 217
    75111 ÷ 131072     		x = 0.573051452636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55527 ÷ 217
    55527 ÷ 131072     		y = 0.423637390136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573051452636719 × 2 - 1) × π
    0.146102905273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.45899581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423637390136719 × 2 - 1) × π
    0.152725219726562 × 3.1415926535     		Φ = 0.479800428297142
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45899581} λ = 0.45899581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.479800428297142))-π/2
    2×atan(1.61575191165357)-π/2
    2×1.01659057299881-π/2
    2.03318114599763-1.57079632675     		φ = 0.46238482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45899581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.298523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46238482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.492699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75111 KachelY 55527 0.45899581 0.46238482 26.298523 26.492699
    Oben rechts KachelX + 1 75112 KachelY 55527 0.45904375 0.46238482 26.301269 26.492699
    Unten links KachelX 75111 KachelY + 1 55528 0.45899581 0.46234192 26.298523 26.490241
    Unten rechts KachelX + 1 75112 KachelY + 1 55528 0.45904375 0.46234192 26.301269 26.490241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46238482-0.46234192) × R
    4.28999999999569e-05 × 6371000     		dl = 273.315899999725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46238482-0.46234192) × R
    4.28999999999569e-05 × 6371000     		dr = 273.315899999725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45899581-0.45904375) × cos(0.46238482) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.894991214116401 × 6371000     		do = 273.353353864821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45899581-0.45904375) × cos(0.46234192) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.895010350286399 × 6371000     		du = 273.359198543703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46238482)-sin(0.46234192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894991214116401-0.895010350286399)×R²
    abs(0.45904375-0.45899581)×1.91361699977133e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91361699977133e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91361699977133e-05×40589641000000     		ar = 74712.6166627692m²