Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7511 / 3832
↖ ↑ ↗
← N 68.720440°
W 14.963379°		 ← 886.71 m → N 68.720440°
W 14.941406°		 →
↑
886.84 m
↓
↑
886.84 m
↓
N 68.712465°
W 14.963379°		 ← 887.03 m →
786 515 m²		 N 68.712465°
W 14.941406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458465576171875 y=0.233917236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458465576171875 × 214)
    floor (0.458465576171875 × 16384)
    floor (7511.5)     		tx = 7511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233917236328125 × 214)
    floor (0.233917236328125 × 16384)
    floor (3832.5)     		ty = 3832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7511 / 3832 ti = "14/7511/3832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7511/3832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7511 ÷ 214
    7511 ÷ 16384     		x = 0.45843505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3832 ÷ 214
    3832 ÷ 16384     		y = 0.23388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45843505859375 × 2 - 1) × π
    -0.0831298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26116023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23388671875 × 2 - 1) × π
    0.5322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.67203905874756
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26116023} λ = -0.26116023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67203905874756))-π/2
    2×atan(5.32301067026728)-π/2
    2×1.38509713907168-π/2
    2.77019427814337-1.57079632675     		φ = 1.19939795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26116023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.963379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19939795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.720440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7511 KachelY 3832 -0.26116023 1.19939795 -14.963379 68.720440
    Oben rechts KachelX + 1 7512 KachelY 3832 -0.26077673 1.19939795 -14.941406 68.720440
    Unten links KachelX 7511 KachelY + 1 3833 -0.26116023 1.19925875 -14.963379 68.712465
    Unten rechts KachelX + 1 7512 KachelY + 1 3833 -0.26077673 1.19925875 -14.941406 68.712465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19939795-1.19925875) × R
    0.000139200000000006 × 6371000     		dl = 886.843200000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19939795-1.19925875) × R
    0.000139200000000006 × 6371000     		dr = 886.843200000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26116023--0.26077673) × cos(1.19939795) × R
    0.000383499999999981 × 0.362918822903626 × 6371000     		do = 886.711757245694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26116023--0.26077673) × cos(1.19925875) × R
    0.000383499999999981 × 0.363048528836867 × 6371000     		du = 887.028664963704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19939795)-sin(1.19925875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362918822903626-0.363048528836867)×R²
    abs(-0.26077673--0.26116023)×0.000129705933240853×R²
    0.000383499999999981×0.000129705933240853×6371000²
    0.000383499999999981×0.000129705933240853×40589641000000     		ar = 786514.81727167m²