Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7511 / 10459
↖ ↑ ↗
← S 44.512176°
W 14.963379°		 ← 1 742.31 m → S 44.512176°
W 14.941406°		 →
↑
1 742.09 m
↓
↑
1 742.09 m
↓
S 44.527843°
W 14.963379°		 ← 1 741.84 m →
3 034 838 m²		 S 44.527843°
W 14.941406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458465576171875 y=0.638397216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458465576171875 × 214)
    floor (0.458465576171875 × 16384)
    floor (7511.5)     		tx = 7511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638397216796875 × 214)
    floor (0.638397216796875 × 16384)
    floor (10459.5)     		ty = 10459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7511 / 10459 ti = "14/7511/10459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7511/10459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7511 ÷ 214
    7511 ÷ 16384     		x = 0.45843505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10459 ÷ 214
    10459 ÷ 16384     		y = 0.63836669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45843505859375 × 2 - 1) × π
    -0.0831298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26116023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63836669921875 × 2 - 1) × π
    -0.2767333984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.869383611509338
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26116023} λ = -0.26116023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.869383611509338))-π/2
    2×atan(0.419209865764225)-π/2
    2×0.396956147699832-π/2
    0.793912295399664-1.57079632675     		φ = -0.77688403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26116023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.963379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77688403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.512176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7511 KachelY 10459 -0.26116023 -0.77688403 -14.963379 -44.512176
    Oben rechts KachelX + 1 7512 KachelY 10459 -0.26077673 -0.77688403 -14.941406 -44.512176
    Unten links KachelX 7511 KachelY + 1 10460 -0.26116023 -0.77715747 -14.963379 -44.527843
    Unten rechts KachelX + 1 7512 KachelY + 1 10460 -0.26077673 -0.77715747 -14.941406 -44.527843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77688403--0.77715747) × R
    0.000273440000000069 × 6371000     		dl = 1742.08624000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77688403--0.77715747) × R
    0.000273440000000069 × 6371000     		dr = 1742.08624000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26116023--0.26077673) × cos(-0.77688403) × R
    0.000383499999999981 × 0.71310148081537 × 6371000     		do = 1742.30551639427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26116023--0.26077673) × cos(-0.77715747) × R
    0.000383499999999981 × 0.712909756087121 × 6371000     		du = 1741.83707948782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77688403)-sin(-0.77715747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71310148081537-0.712909756087121)×R²
    abs(-0.26077673--0.26116023)×0.000191724728249132×R²
    0.000383499999999981×0.000191724728249132×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191724728249132×40589641000000     		ar = 3034838.45615301m²