Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75109 / 60125
↖ ↑ ↗
← N 14.697851°
E 26.293030°		 ← 295.43 m → N 14.697851°
E 26.295777°		 →
↑
295.36 m
↓
↑
295.36 m
↓
N 14.695195°
E 26.293030°		 ← 295.43 m →
87 259 m²		 N 14.695195°
E 26.295777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573040008544922 y=0.458721160888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573040008544922 × 217)
    floor (0.573040008544922 × 131072)
    floor (75109.5)     		tx = 75109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458721160888672 × 217)
    floor (0.458721160888672 × 131072)
    floor (60125.5)     		ty = 60125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75109 / 60125 ti = "17/75109/60125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75109/60125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75109 ÷ 217
    75109 ÷ 131072     		x = 0.573036193847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60125 ÷ 217
    60125 ÷ 131072     		y = 0.458717346191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573036193847656 × 2 - 1) × π
    0.146072387695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.45889994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458717346191406 × 2 - 1) × π
    0.0825653076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.259386563844124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45889994} λ = 0.45889994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.259386563844124))-π/2
    2×atan(1.29613474682901)-π/2
    2×0.913661115359879-π/2
    1.82732223071976-1.57079632675     		φ = 0.25652590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45889994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.293030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25652590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.697851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75109 KachelY 60125 0.45889994 0.25652590 26.293030 14.697851
    Oben rechts KachelX + 1 75110 KachelY 60125 0.45894788 0.25652590 26.295777 14.697851
    Unten links KachelX 75109 KachelY + 1 60126 0.45889994 0.25647954 26.293030 14.695195
    Unten rechts KachelX + 1 75110 KachelY + 1 60126 0.45894788 0.25647954 26.295777 14.695195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25652590-0.25647954) × R
    4.63599999999675e-05 × 6371000     		dl = 295.359559999793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25652590-0.25647954) × R
    4.63599999999675e-05 × 6371000     		dr = 295.359559999793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45889994-0.45894788) × cos(0.25652590) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.967277268029639 × 6371000     		do = 295.431375372937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45889994-0.45894788) × cos(0.25647954) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.96728902952688 × 6371000     		du = 295.434967636935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25652590)-sin(0.25647954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967277268029639-0.96728902952688)×R²
    abs(0.45894788-0.45889994)×1.17614972413582e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.17614972413582e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.17614972413582e-05×40589641000000     		ar = 87259.0115607209m²