Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75109 / 55160
↖ ↑ ↗
← N 27.391278°
E 26.293030°		 ← 271.18 m → N 27.391278°
E 26.295777°		 →
↑
271.15 m
↓
↑
271.15 m
↓
N 27.388840°
E 26.293030°		 ← 271.19 m →
73 532 m²		 N 27.388840°
E 26.295777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573040008544922 y=0.420841217041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573040008544922 × 217)
    floor (0.573040008544922 × 131072)
    floor (75109.5)     		tx = 75109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420841217041016 × 217)
    floor (0.420841217041016 × 131072)
    floor (55160.5)     		ty = 55160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75109 / 55160 ti = "17/75109/55160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75109/55160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75109 ÷ 217
    75109 ÷ 131072     		x = 0.573036193847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55160 ÷ 217
    55160 ÷ 131072     		y = 0.42083740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573036193847656 × 2 - 1) × π
    0.146072387695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.45889994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42083740234375 × 2 - 1) × π
    0.1583251953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.497393270457703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45889994} λ = 0.45889994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.497393270457703))-π/2
    2×atan(1.64442909695529)-π/2
    2×1.02443215904805-π/2
    2.0488643180961-1.57079632675     		φ = 0.47806799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45889994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.293030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47806799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.391278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75109 KachelY 55160 0.45889994 0.47806799 26.293030 27.391278
    Oben rechts KachelX + 1 75110 KachelY 55160 0.45894788 0.47806799 26.295777 27.391278
    Unten links KachelX 75109 KachelY + 1 55161 0.45889994 0.47802543 26.293030 27.388840
    Unten rechts KachelX + 1 75110 KachelY + 1 55161 0.45894788 0.47802543 26.295777 27.388840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47806799-0.47802543) × R
    4.25600000000248e-05 × 6371000     		dl = 271.149760000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47806799-0.47802543) × R
    4.25600000000248e-05 × 6371000     		dr = 271.149760000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45889994-0.45894788) × cos(0.47806799) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.887885428783309 × 6371000     		do = 271.183064121182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45889994-0.45894788) × cos(0.47802543) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.887905008329891 × 6371000     		du = 271.189044218685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47806799)-sin(0.47802543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887885428783309-0.887905008329891)×R²
    abs(0.45894788-0.45889994)×1.95795465826043e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95795465826043e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95795465826043e-05×40589641000000     		ar = 73532.0335147423m²