Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75107 / 55901
↖ ↑ ↗
← N 25.569698°
E 26.287537°		 ← 275.46 m → N 25.569698°
E 26.290283°		 →
↑
275.48 m
↓
↑
275.48 m
↓
N 25.567221°
E 26.287537°		 ← 275.46 m →
75 884 m²		 N 25.567221°
E 26.290283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573024749755859 y=0.426494598388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573024749755859 × 217)
    floor (0.573024749755859 × 131072)
    floor (75107.5)     		tx = 75107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426494598388672 × 217)
    floor (0.426494598388672 × 131072)
    floor (55901.5)     		ty = 55901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75107 / 55901 ti = "17/75107/55901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75107/55901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75107 ÷ 217
    75107 ÷ 131072     		x = 0.573020935058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55901 ÷ 217
    55901 ÷ 131072     		y = 0.426490783691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573020935058594 × 2 - 1) × π
    0.146041870117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.45880407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426490783691406 × 2 - 1) × π
    0.147018432617188 × 3.1415926535     		Φ = 0.461872027839241
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45880407} λ = 0.45880407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.461872027839241))-π/2
    2×atan(1.58704219301099)-π/2
    2×1.0085358727944-π/2
    2.01707174558881-1.57079632675     		φ = 0.44627542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45880407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.287537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44627542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.569698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75107 KachelY 55901 0.45880407 0.44627542 26.287537 25.569698
    Oben rechts KachelX + 1 75108 KachelY 55901 0.45885200 0.44627542 26.290283 25.569698
    Unten links KachelX 75107 KachelY + 1 55902 0.45880407 0.44623218 26.287537 25.567221
    Unten rechts KachelX + 1 75108 KachelY + 1 55902 0.45885200 0.44623218 26.290283 25.567221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44627542-0.44623218) × R
    4.32399999999999e-05 × 6371000     		dl = 275.48204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44627542-0.44623218) × R
    4.32399999999999e-05 × 6371000     		dr = 275.48204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45880407-0.45885200) × cos(0.44627542) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.902060916818726 × 6371000     		do = 275.455152743277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45880407-0.45885200) × cos(0.44623218) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.902079578737242 × 6371000     		du = 275.460851384599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44627542)-sin(0.44623218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902060916818726-0.902079578737242)×R²
    abs(0.45885200-0.45880407)×1.8661918516294e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.8661918516294e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.8661918516294e-05×40589641000000     		ar = 75883.7323547411m²