Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75107 / 55659
↖ ↑ ↗
← N 26.167764°
E 26.287537°		 ← 274.06 m → N 26.167764°
E 26.290283°		 →
↑
274.08 m
↓
↑
274.08 m
↓
N 26.165299°
E 26.287537°		 ← 274.07 m →
75 116 m²		 N 26.165299°
E 26.290283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573024749755859 y=0.424648284912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573024749755859 × 217)
    floor (0.573024749755859 × 131072)
    floor (75107.5)     		tx = 75107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424648284912109 × 217)
    floor (0.424648284912109 × 131072)
    floor (55659.5)     		ty = 55659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75107 / 55659 ti = "17/75107/55659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75107/55659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75107 ÷ 217
    75107 ÷ 131072     		x = 0.573020935058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55659 ÷ 217
    55659 ÷ 131072     		y = 0.424644470214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573020935058594 × 2 - 1) × π
    0.146041870117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.45880407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424644470214844 × 2 - 1) × π
    0.150711059570312 × 3.1415926535     		Φ = 0.473472757547295
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45880407} λ = 0.45880407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.473472757547295))-π/2
    2×atan(1.60556024430655)-π/2
    2×1.01375498321594-π/2
    2.02750996643187-1.57079632675     		φ = 0.45671364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45880407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.287537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45671364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.167764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75107 KachelY 55659 0.45880407 0.45671364 26.287537 26.167764
    Oben rechts KachelX + 1 75108 KachelY 55659 0.45885200 0.45671364 26.290283 26.167764
    Unten links KachelX 75107 KachelY + 1 55660 0.45880407 0.45667062 26.287537 26.165299
    Unten rechts KachelX + 1 75108 KachelY + 1 55660 0.45885200 0.45667062 26.290283 26.165299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45671364-0.45667062) × R
    4.30199999999492e-05 × 6371000     		dl = 274.080419999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45671364-0.45667062) × R
    4.30199999999492e-05 × 6371000     		dr = 274.080419999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45880407-0.45885200) × cos(0.45671364) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.897506629448408 × 6371000     		do = 274.064446306674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45880407-0.45885200) × cos(0.45667062) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.897525600479349 × 6371000     		du = 274.070239339193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45671364)-sin(0.45667062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897506629448408-0.897525600479349)×R²
    abs(0.45885200-0.45880407)×1.89710309410618e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.89710309410618e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.89710309410618e-05×40589641000000     		ar = 75116.4924406572m²