Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75106 / 60128
↖ ↑ ↗
← N 14.689882°
E 26.284790°		 ← 295.44 m → N 14.689882°
E 26.287537°		 →
↑
295.42 m
↓
↑
295.42 m
↓
N 14.687225°
E 26.284790°		 ← 295.45 m →
87 281 m²		 N 14.687225°
E 26.287537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573017120361328 y=0.458744049072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573017120361328 × 217)
    floor (0.573017120361328 × 131072)
    floor (75106.5)     		tx = 75106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458744049072266 × 217)
    floor (0.458744049072266 × 131072)
    floor (60128.5)     		ty = 60128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75106 / 60128 ti = "17/75106/60128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75106/60128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75106 ÷ 217
    75106 ÷ 131072     		x = 0.573013305664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60128 ÷ 217
    60128 ÷ 131072     		y = 0.458740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573013305664062 × 2 - 1) × π
    0.146026611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45875613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458740234375 × 2 - 1) × π
    0.08251953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.259242753145264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45875613} λ = 0.45875613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.259242753145264))-π/2
    2×atan(1.29594836218763)-π/2
    2×0.913591561681295-π/2
    1.82718312336259-1.57079632675     		φ = 0.25638680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45875613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.284790°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25638680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.689882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75106 KachelY 60128 0.45875613 0.25638680 26.284790 14.689882
    Oben rechts KachelX + 1 75107 KachelY 60128 0.45880407 0.25638680 26.287537 14.689882
    Unten links KachelX 75106 KachelY + 1 60129 0.45875613 0.25634043 26.284790 14.687225
    Unten rechts KachelX + 1 75107 KachelY + 1 60129 0.45880407 0.25634043 26.287537 14.687225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25638680-0.25634043) × R
    4.63700000000178e-05 × 6371000     		dl = 295.423270000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25638680-0.25634043) × R
    4.63700000000178e-05 × 6371000     		dr = 295.423270000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45875613-0.45880407) × cos(0.25638680) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.967312551356243 × 6371000     		do = 295.442151809417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45875613-0.45880407) × cos(0.25634043) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.967324309151098 × 6371000     		du = 295.445742942611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25638680)-sin(0.25634043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967312551356243-0.967324309151098)×R²
    abs(0.45880407-0.45875613)×1.17577948547387e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.17577948547387e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.17577948547387e-05×40589641000000     		ar = 87281.0170512139m²