Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75106 / 55262
↖ ↑ ↗
← N 27.142257°
E 26.284790°		 ← 271.79 m → N 27.142257°
E 26.287537°		 →
↑
271.79 m
↓
↑
271.79 m
↓
N 27.139813°
E 26.284790°		 ← 271.80 m →
73 870 m²		 N 27.139813°
E 26.287537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573017120361328 y=0.421619415283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573017120361328 × 217)
    floor (0.573017120361328 × 131072)
    floor (75106.5)     		tx = 75106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421619415283203 × 217)
    floor (0.421619415283203 × 131072)
    floor (55262.5)     		ty = 55262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75106 / 55262 ti = "17/75106/55262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75106/55262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75106 ÷ 217
    75106 ÷ 131072     		x = 0.573013305664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55262 ÷ 217
    55262 ÷ 131072     		y = 0.421615600585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573013305664062 × 2 - 1) × π
    0.146026611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45875613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421615600585938 × 2 - 1) × π
    0.156768798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.492503706696457
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45875613} λ = 0.45875613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.492503706696457))-π/2
    2×atan(1.6364081814041)-π/2
    2×1.02225903635127-π/2
    2.04451807270253-1.57079632675     		φ = 0.47372175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45875613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.284790°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47372175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.142257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75106 KachelY 55262 0.45875613 0.47372175 26.284790 27.142257
    Oben rechts KachelX + 1 75107 KachelY 55262 0.45880407 0.47372175 26.287537 27.142257
    Unten links KachelX 75106 KachelY + 1 55263 0.45875613 0.47367909 26.284790 27.139813
    Unten rechts KachelX + 1 75107 KachelY + 1 55263 0.45880407 0.47367909 26.287537 27.139813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47372175-0.47367909) × R
    4.26599999999722e-05 × 6371000     		dl = 271.786859999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47372175-0.47367909) × R
    4.26599999999722e-05 × 6371000     		dr = 271.786859999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45875613-0.45880407) × cos(0.47372175) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.889876587816233 × 6371000     		do = 271.791215342585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45875613-0.45880407) × cos(0.47367909) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.889896048555465 × 6371000     		du = 271.797159153265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47372175)-sin(0.47367909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889876587816233-0.889896048555465)×R²
    abs(0.45880407-0.45875613)×1.9460739231536e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.9460739231536e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.9460739231536e-05×40589641000000     		ar = 73870.0887295463m²