Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75105 / 55903
↖ ↑ ↗
← N 25.564743°
E 26.282043°		 ← 275.52 m → N 25.564743°
E 26.284790°		 →
↑
275.48 m
↓
↑
275.48 m
↓
N 25.562265°
E 26.282043°		 ← 275.53 m →
75 903 m²		 N 25.562265°
E 26.284790°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573009490966797 y=0.426509857177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573009490966797 × 217)
    floor (0.573009490966797 × 131072)
    floor (75105.5)     		tx = 75105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426509857177734 × 217)
    floor (0.426509857177734 × 131072)
    floor (55903.5)     		ty = 55903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75105 / 55903 ti = "17/75105/55903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75105/55903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75105 ÷ 217
    75105 ÷ 131072     		x = 0.573005676269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55903 ÷ 217
    55903 ÷ 131072     		y = 0.426506042480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573005676269531 × 2 - 1) × π
    0.146011352539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.45870819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426506042480469 × 2 - 1) × π
    0.146987915039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.461776154040001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45870819} λ = 0.45870819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.461776154040001))-π/2
    2×atan(1.58689004454004)-π/2
    2×1.00849262989612-π/2
    2.01698525979225-1.57079632675     		φ = 0.44618893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45870819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.282043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44618893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.564743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75105 KachelY 55903 0.45870819 0.44618893 26.282043 25.564743
    Oben rechts KachelX + 1 75106 KachelY 55903 0.45875613 0.44618893 26.284790 25.564743
    Unten links KachelX 75105 KachelY + 1 55904 0.45870819 0.44614569 26.282043 25.562265
    Unten rechts KachelX + 1 75106 KachelY + 1 55904 0.45875613 0.44614569 26.284790 25.562265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44618893-0.44614569) × R
    4.32399999999999e-05 × 6371000     		dl = 275.48204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44618893-0.44614569) × R
    4.32399999999999e-05 × 6371000     		dr = 275.48204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45870819-0.45875613) × cos(0.44618893) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.902098243284449 × 6371000     		do = 275.524023507672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45870819-0.45875613) × cos(0.44614569) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.902116901829309 × 6371000     		du = 275.529722307543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44618893)-sin(0.44614569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902098243284449-0.902116901829309)×R²
    abs(0.45875613-0.45870819)×1.86585448592735e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86585448592735e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86585448592735e-05×40589641000000     		ar = 75902.7050352542m²