Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75104 / 55329
↖ ↑ ↗
← N 26.978381°
E 26.279297°		 ← 272.13 m → N 26.978381°
E 26.282043°		 →
↑
272.17 m
↓
↑
272.17 m
↓
N 26.975933°
E 26.279297°		 ← 272.14 m →
74 067 m²		 N 26.975933°
E 26.282043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573001861572266 y=0.422130584716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573001861572266 × 217)
    floor (0.573001861572266 × 131072)
    floor (75104.5)     		tx = 75104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422130584716797 × 217)
    floor (0.422130584716797 × 131072)
    floor (55329.5)     		ty = 55329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75104 / 55329 ti = "17/75104/55329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75104/55329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75104 ÷ 217
    75104 ÷ 131072     		x = 0.572998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55329 ÷ 217
    55329 ÷ 131072     		y = 0.422126770019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572998046875 × 2 - 1) × π
    0.14599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45866026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422126770019531 × 2 - 1) × π
    0.155746459960938 × 3.1415926535     		Φ = 0.489291934421913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45866026} λ = 0.45866026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.489291934421913))-π/2
    2×atan(1.63116084211739)-π/2
    2×1.02082895038399-π/2
    2.04165790076798-1.57079632675     		φ = 0.47086157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45866026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.279297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47086157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.978381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75104 KachelY 55329 0.45866026 0.47086157 26.279297 26.978381
    Oben rechts KachelX + 1 75105 KachelY 55329 0.45870819 0.47086157 26.282043 26.978381
    Unten links KachelX 75104 KachelY + 1 55330 0.45866026 0.47081885 26.279297 26.975933
    Unten rechts KachelX + 1 75105 KachelY + 1 55330 0.45870819 0.47081885 26.282043 26.975933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47086157-0.47081885) × R
    4.27199999999961e-05 × 6371000     		dl = 272.169119999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47086157-0.47081885) × R
    4.27199999999961e-05 × 6371000     		dr = 272.169119999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45866026-0.45870819) × cos(0.47086157) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.891177764099882 × 6371000     		do = 272.131851136568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45866026-0.45870819) × cos(0.47081885) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.891197143396907 × 6371000     		du = 272.137768838047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47086157)-sin(0.47081885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891177764099882-0.891197143396907)×R²
    abs(0.45870819-0.45866026)×1.93792970251128e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.93792970251128e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.93792970251128e-05×40589641000000     		ar = 74066.6917668858m²