Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75103 / 55905
↖ ↑ ↗
← N 25.559787°
E 26.276550°		 ← 275.54 m → N 25.559787°
E 26.279297°		 →
↑
275.48 m
↓
↑
275.48 m
↓
N 25.557310°
E 26.276550°		 ← 275.54 m →
75 906 m²		 N 25.557310°
E 26.279297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572994232177734 y=0.426525115966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572994232177734 × 217)
    floor (0.572994232177734 × 131072)
    floor (75103.5)     		tx = 75103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426525115966797 × 217)
    floor (0.426525115966797 × 131072)
    floor (55905.5)     		ty = 55905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75103 / 55905 ti = "17/75103/55905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75103/55905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75103 ÷ 217
    75103 ÷ 131072     		x = 0.572990417480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55905 ÷ 217
    55905 ÷ 131072     		y = 0.426521301269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572990417480469 × 2 - 1) × π
    0.145980834960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.45861232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426521301269531 × 2 - 1) × π
    0.146957397460938 × 3.1415926535     		Φ = 0.461680280240761
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45861232} λ = 0.45861232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.461680280240761))-π/2
    2×atan(1.58673791065543)-π/2
    2×1.00844938520874-π/2
    2.01689877041748-1.57079632675     		φ = 0.44610244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45861232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.276550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44610244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.559787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75103 KachelY 55905 0.45861232 0.44610244 26.276550 25.559787
    Oben rechts KachelX + 1 75104 KachelY 55905 0.45866026 0.44610244 26.279297 25.559787
    Unten links KachelX 75103 KachelY + 1 55906 0.45861232 0.44605920 26.276550 25.557310
    Unten rechts KachelX + 1 75104 KachelY + 1 55906 0.45866026 0.44605920 26.279297 25.557310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44610244-0.44605920) × R
    4.32399999999999e-05 × 6371000     		dl = 275.48204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44610244-0.44605920) × R
    4.32399999999999e-05 × 6371000     		dr = 275.48204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45861232-0.45866026) × cos(0.44610244) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.902135563002009 × 6371000     		do = 275.535421910025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45861232-0.45866026) × cos(0.44605920) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.902154218173072 × 6371000     		du = 275.541119679451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44610244)-sin(0.44605920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902135563002009-0.902154218173072)×R²
    abs(0.45866026-0.45861232)×1.86551710626981e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86551710626981e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86551710626981e-05×40589641000000     		ar = 75905.8449485048m²