Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75101 / 60130
↖ ↑ ↗
← N 14.684568°
E 26.271057°		 ← 295.45 m → N 14.684568°
E 26.273804°		 →
↑
295.49 m
↓
↑
295.49 m
↓
N 14.681911°
E 26.271057°		 ← 295.45 m →
87 302 m²		 N 14.681911°
E 26.273804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572978973388672 y=0.458759307861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572978973388672 × 217)
    floor (0.572978973388672 × 131072)
    floor (75101.5)     		tx = 75101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458759307861328 × 217)
    floor (0.458759307861328 × 131072)
    floor (60130.5)     		ty = 60130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75101 / 60130 ti = "17/75101/60130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75101/60130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75101 ÷ 217
    75101 ÷ 131072     		x = 0.572975158691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60130 ÷ 217
    60130 ÷ 131072     		y = 0.458755493164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572975158691406 × 2 - 1) × π
    0.145950317382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.45851644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458755493164062 × 2 - 1) × π
    0.082489013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.259146879346024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45851644} λ = 0.45851644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.259146879346024))-π/2
    2×atan(1.29582412065038)-π/2
    2×0.913545191152958-π/2
    1.82709038230592-1.57079632675     		φ = 0.25629406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45851644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.271057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25629406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.684568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75101 KachelY 60130 0.45851644 0.25629406 26.271057 14.684568
    Oben rechts KachelX + 1 75102 KachelY 60130 0.45856438 0.25629406 26.273804 14.684568
    Unten links KachelX 75101 KachelY + 1 60131 0.45851644 0.25624768 26.271057 14.681911
    Unten rechts KachelX + 1 75102 KachelY + 1 60131 0.45856438 0.25624768 26.273804 14.681911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25629406-0.25624768) × R
    4.63800000000125e-05 × 6371000     		dl = 295.48698000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25629406-0.25624768) × R
    4.63800000000125e-05 × 6371000     		dr = 295.48698000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45851644-0.45856438) × cos(0.25629406) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.967336064866035 × 6371000     		do = 295.449333440203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45851644-0.45856438) × cos(0.25624768) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.967347821035553 × 6371000     		du = 295.452924076978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25629406)-sin(0.25624768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967336064866035-0.967347821035553)×R²
    abs(0.45856438-0.45851644)×1.17561695182067e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.17561695182067e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.17561695182067e-05×40589641000000     		ar = 87301.9617900651m²