Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75101 / 55789
↖ ↑ ↗
← N 25.846865°
E 26.271057°		 ← 274.87 m → N 25.846865°
E 26.273804°		 →
↑
274.84 m
↓
↑
274.84 m
↓
N 25.844394°
E 26.271057°		 ← 274.88 m →
75 548 m²		 N 25.844394°
E 26.273804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572978973388672 y=0.425640106201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572978973388672 × 217)
    floor (0.572978973388672 × 131072)
    floor (75101.5)     		tx = 75101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425640106201172 × 217)
    floor (0.425640106201172 × 131072)
    floor (55789.5)     		ty = 55789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75101 / 55789 ti = "17/75101/55789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75101/55789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75101 ÷ 217
    75101 ÷ 131072     		x = 0.572975158691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55789 ÷ 217
    55789 ÷ 131072     		y = 0.425636291503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572975158691406 × 2 - 1) × π
    0.145950317382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.45851644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425636291503906 × 2 - 1) × π
    0.148727416992188 × 3.1415926535     		Φ = 0.467240960596687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45851644} λ = 0.45851644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.467240960596687))-π/2
    2×atan(1.59558583041302)-π/2
    2×1.01095461202025-π/2
    2.0219092240405-1.57079632675     		φ = 0.45111290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45851644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.271057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45111290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.846865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75101 KachelY 55789 0.45851644 0.45111290 26.271057 25.846865
    Oben rechts KachelX + 1 75102 KachelY 55789 0.45856438 0.45111290 26.273804 25.846865
    Unten links KachelX 75101 KachelY + 1 55790 0.45851644 0.45106976 26.271057 25.844394
    Unten rechts KachelX + 1 75102 KachelY + 1 55790 0.45856438 0.45106976 26.273804 25.844394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45111290-0.45106976) × R
    4.31399999999971e-05 × 6371000     		dl = 274.844939999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45111290-0.45106976) × R
    4.31399999999971e-05 × 6371000     		dr = 274.844939999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45851644-0.45856438) × cos(0.45111290) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.899962471686984 × 6371000     		do = 274.871703887046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45851644-0.45856438) × cos(0.45106976) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.899981278481969 × 6371000     		du = 274.877447966321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45111290)-sin(0.45106976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899962471686984-0.899981278481969)×R²
    abs(0.45856438-0.45851644)×1.88067949855597e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88067949855597e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88067949855597e-05×40589641000000     		ar = 75547.8863397708m²